Divagações matemáticas, probabilísticas, físicas, exactas, aproximadas e até disparatadas...
Recentemente, apareceu-me numa rede social, a fórmula, para a distancia (mais curta) entre dois pontos numa superfície esférica conhecendo as latitudes $\phi$; e as longitudes $\lambda$
 | Nestes triângulos são válidas as fórmulas: Lei dos cossenos:
Lei dos senos (Versão 1): \[\frc{\sen a}{\sen A}=\frc{\sen b}{\sen B}=\frc{\sen c}{\sen C}\] |
Este deve ser o texto mais picuinhas deste blog, peço desculpa ao leitor por isso.
Recentemente, num grupo no facebook, alguém perguntou se a "notação $\cis(\theta)$" é permitida em exame nacional.
A notação caiu em desuso desde que em 2017/2018 entrou em vigor o programa das metas curriculares para Matemática A, 12º, e nenhuma das versões seguintes voltou a utilizá-la.
No entanto, alguém comentou que a notação está "cientificamente incorrecta" por ser uma abreviatura.
De $\cis (\theta)$ = cos ( $\theta$ ) + i sin( $\theta$ ) )
Perdão?
Esse é o argumento mais facilmente refutável que me apareceu, pois com ele morriam, por exemplo as notações
Nem vou falar de $\exp$.
Dizer que $\cis$ está errado por ser abreviatura é o mesmo que dizer que não se pode escrever $\tan(x)$ e que se exige sempre a escrita por extenso de 'tangente'.
"Científicamente errada" não está!
Que a versão recorrendo à exponencial complexa seja preferível em muitos contextos, compreendo, e até concordo com ela nesses contextos.
Para evitar chatices em avaliações, todos os alunos devem utilizar as notações dos seus professores.
Não estou aqui para discutir picuinhices.
Fora desse contexto, desde que se definam as funções correctamente, podem até criar e usar a notação que vos apetecer, desde que tenham informado adequadamente todo o público alvo.
Agora vamos lá definir rigorosamente a função $\cis$ de $\R$ em $\C$:
$$ \begin{aligned} \text{cis} \colon \R &\to \C \\ \theta &\mapsto \cos(\theta) + i\sin(\theta) \end{aligned} $$
Pode, e deve, confirmar que a função está bem definida.
A notação $\cis$ foi popularizada por matemáticos, nomeadamente por William Rowan Hamilton (o criador dos Quaterniões) no século XIX.
Eu uso-a quando não quero usar a versão exponencial ( por exemplo, se a exponencial complexa ainda não foi definida ), mas citar-me a mim como justificação é má política académica.
Por exemplo a notação $\cis$ é usada em,
Transition to Higher Mathematics: Structure and Proof - 2ª edição (2015) — Bob A. Dumas & John E. McCarthy
Sabendo que a inteligência artificial digitaliza e converte os meus textos manuscritos para formatos publicáveis abriu-me novas portas.
Posso ressuscitar o blog Zona Exacta.
Só que... estamos na era da Inteligência Artificial. Acabo a debater comigo, o que vale a pena publicar e o que pode ser transformado em lucro financeiro. É que estou parado à quase dois anos, só a ter despesas e isto torna-se incomportável.
Tal como as minhas dores.
Ao tentar digitalizar textos com grok, às vezes choco com um aviso de que está sobrecarregado e tenho de esperar OU pagar para ter acesso a uma versão que me dê prioridade.
Há outras inteligências artificiais, só que isto de dar prioridade a quem paga, o que até se percebe, alguem tem de pagar as contas da inteligência Artificial, fez-me ver algo.
Nessa sobrecarga, há certamente muito mau uso, e quem sou eu para dizer que o meu uso é melhor do que o de outros?
Eu faço a maioria dos meus desenhos à mão. (Podem consultar o meu Deviant Art)
Alguns, eu gostaria que a AI, os pintasse e fizesse o trabalho que consome tempo e tedioso, como pintar.
Será esse o melhor uso para a AI?
O uso de AI tem de ser optimizado. Temos de coexistir com ela e não ser substituídos por ela.
Banir o uso de AI não é solução. Substituir pessoas também não.
Há ainda algo que não vi. O verdadeiro custo da AI. Não falo de economia, falo de impacto ambiental, consumo energético, e custos humanos.
Eu ia falar de outra coisa, só que as sobrecargas do Grok sugeriram-me que pensasse melhor na forma de usar inteligência Artificial.
Estou num novo mundo, e eu quero poder escrever e ser lido sem estar a fazer concorrência à AI.
O produto cartesiano desses conjuntos, define-se assim
Dedico este texto a quem não gosta da convenção $0^0=1$ em séries de potências e polinómios.
Para ser honesto, também não sou o maior fã, principalmente quando temos de a usar com público com menos conhecimento.
A abordagem deste texto é informal, e não vou ser rigoroso nem mesquinho
Um polinómio é uma expressão do tipo
\[p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n\] onde $n\in \N_1$. Os expoentes vão de $1$ a $n$
o $n$ chamamos grau do polinómio, e os $a_k$, com $k$ a variar entre $0$ e $n$, são elementos de uma estrutura algébrica qualquer onde se podem definir polinómios. Não interessa qual.
Como escrevi os termos de grau $1$ e grau $2$, o bom senso sugere-nos que naquela expressão $n$ é pelo menos $3$.
Mas isso são detalhes, que nesta exposição, peço que façam o esforço de ignorar.
Se eu quiser escrever como somatório, posso escrever
\[p(x)=a_0+\sum_\limits{k=1}^{n}a_kx^k\]
Isto é chato.
Tenho mesmo de ter o $a_0$ fora do somatório?
E aqui chegamos ao problema. Como $x^0=1$ para $x\neq0$ apetece escrever
\[p(x)=\sum_\limits{k=0}^{n}a_kx^k\]
Mas e para $x=0$?
Se convencionarmos $0^0=1$ naquela fórmula, funciona!
Só que sabemos que $0^0$ não é $1$.
No texto "zero elevado a zero" do blog Z0nα Exact4, até mostro um $0^0$ a dar $2026$, e até podia ter posto aquilo a dar um número positivo qualquer.
A convenção não é confortável exactamente por isso, e compreendo que não se goste dela.
Para quem não gosta, mas ainda quer uma notação compacta, podemos definir a função "conveniente potência" (escolhi o nome de propósito para ficar com as minhas iniciais :), só que podem chamar-lhe outra coisa qualquer e usar outra notação qualquer )
No passado Sábado, quatorze de Março de dois mil e vinte e seis, celebrou-se mais um dia do $\pi$ (pi) e dia internacional da Matemática.
Nesse dia, no meu Pokemon Legends: Z-A, no meu canal de jogos mudei o nome de um dos meus Pikachus para $\pi\text{kachu}$ e a minha Gardevoir passou a ser Miss Maths.
Ainda renomeei a minha Mantine para miss Algebra.
No post anterior deduzi a fórmula da "derivada do produto generalizado" e com ela a derivada da potência.
Isso permite-me deduzir uma fórmula para $(a+x)^n$ com $n \in \N_0$.
Ora, $f(x)=(a+x)^n$ pode ser escrito como um polinómio de grau $n$.Recentemente recebi uma dúvida que se respondia com
\[\left(fgh\right)'=f'gh+fg'h+fgh'\]
A fórmula está no formulário de derivação que deixei no blog Z0nα Exact4, e até se deduz rapidamente, mesmo mentalmente.
Sabendo que $(fg)'=f'g+fg'$ então
\begin{eqnarray*} {(fgh)'}&{=}&{(f(gh))'}\\ {}&{=}&{f'(gh)+f(gh)'}\\ {}&{=}&{f'gh+f(g'h+gh')}\\ {}&{=}&{f'gh+fg'h+fgh'} \end{eqnarray*}$\blacksquare$
Uma forma de memorizar é lembrar-se "deriva-se uma de cada vez".
Mas a regra é válida para $n$ funções deriváveis, num corpo ($\R$ ou $\C$), com $n\in \N_1$
\[
\left( {f_1 f_2 ...f_n } \right)^\prime = f_1 ^\prime f_2 ...f_n + f_1 f_2 ^\prime ...f_n + \cdots + f_1 f_2 ...f_n ^\prime
\]
Ou, mais precisamente
$\blacksquare$
e pela regra de derivação da função composta: \[ \left( {f^n } \right)^\prime = nf^{n - 1} f' \] onde $f$ é função escalar,derivável, definida no tal corpo.https://www.facebook.com/share/r/1Ev6bvsePo/
Este é um assunto que inincialmente eu tinha descartado, mas, um email do professor Filipe Oliveira convenceu-me a trazê-lo para aqui...
Vou mostrar a minha abordagem ao assunto. Desconheço se já foi abordada desta forma em algum lado... mas sem pressas.
Vou escrever num bloco de notas e depois copiar para aqui, para evitar chatices.
| Casio Basic: | TI Basic: | Python |
|---|---|---|
| "A="?->A:Int A->A | Prompt A:Int A->A | a=int(input("a=")) |
A quantificação rigorosa da dor é feita através de escalas validadas (numéricas, visuais ou multidimensionais) que permitem medir intensidade, qualidade e impacto da dor na vida do paciente.
Em Portugal, a dor é considerada o 5.º sinal vital, devendo ser avaliada e registada sistematicamente.
A dor como 5º Sinal Vital (DGS - Comissão nacional de controlo da dor)
Sofrendo eu de dores crónicas, o assunto passou a interessar-me. Não do ponto de vista neurológico, académico, mas de um ponto de vista... matemático, rigoroso.
 |  |
Há vários anos que tenho alguns problemas com a forma como as calculadoras são usadas no ensino. Tornaram-se obrigatórias, são mais baratas do que a maioria dos smartphones que os alunos usam — e, ainda assim, ficam muito atrás deles.
Agora… todas “têm de ter Python”. (???)
Como já referi antes, não gosto da ideia de usar calculadoras programáveis em que o código útil e prático tem de ser escrito num computador e não directamente na máquina.
O programa de geometria do texto anterior foi totalmente escrito na calculadora, em Basic.
Fazer isso em Python é hercúleo e pouco prático.
Não tenho nada contra escrever e correr Python num computador, ou até num smartphone.
Mas não é prático ter de recorrer a um computador para escrever código para uma calculadora.
A verdadeira ideia de uma calculadora é ser usada para resolver problemas on the fly. Isso pode incluir escrever código directamente nela — e nenhuma das calculadoras actuais é prática nesse aspecto (relativamente a Python). Para isso, prefiro um tablet, um smartphone ou um computador.
No meu caso, que tenho dores crónicas, o Basic das Casio e Texas Instruments é muito mais prático que o Python num PC.
O código do programa do texto anterior foi escrito directamente na calculadora, comigo deitado, depois de ter deduzido as fórmulas com papel e lápis!
Eu escrevo Python e Bash remotamente num terminal no meu smartphone, ligado via Wifi a um dos meus Raspberry Pis (são single board computers, por isso para mim têm género masculino).
Mas não nas minhas calculadoras.
O problema não é o Python.
É tentarem impor o Python em calculadoras numa sociedade onde já existem tablets, smartphones… e Raspberry Pis.
Nas calculadoras, o Basic ainda é a linguagem mais prática para escrever directamente na máquina.
Se querem mesmo que o Python se torne mais interessante nelas, repensem as calculadoras.
Não é só impor Python à força por ser a linguagem da moda e esperar que tudo corra bem…
Por estes dias, nos intervalos das minhas noites como enfermeiro, quando as minhas dores vão incomodam muito, ando a revisitar/modificar alguns dos meus programas de calculadora.
Em particular, um cuja última versão era de 2014, na minha Casio fx-9860GII SD em que dados 3 pontos do plano, dá as coordenadas de circuncentro, incentro, ortocentro, baricentro, do triângulo cujos vértices são esses pontos. Ainda dá os raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo, e ainda desenha o triângulo e essas circunferências.
Para escrever o código na altura eu deduzi as fórmulas para as coordenadas de incentro e circuncentro.
Penso que devem reencontrar as deduções nos meus blogues anteriores, mas um dia deixo para aqui as fórmulas dessas coisas. Para ortocentro e baricentro, limitei-me a recorrer aos métodos geométricos e escrevê-los algebricamente na calculadora.
Agora juntei algo óbvio: determinar a área e o perímetro desse triângulo, assim como os ângulos internos. E ainda algo novo: dados os pontos $A,B$ e $C$. quais as coordenadas dos centros e raios das circunferências que passam em $A$ e são tangentes a $BC$ em $B$ e em $C$.
[Para quê? Isso fica no segredo dos deuses]
Tendo em conta o que eu acabei de escrever, é óbvio que eu sei calcular e desenhar tudo isso com papel e lápis.
Por isso, vou propor este exercício:
Considere os pontos $A(-1,-2)$; $B(2,3)$ e $C(0,5)$.
Determine:
a) As coordenadas do circuncentro de $\Delta[ABC]$ e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo
b) As coordenadas do incentro de $\Delta[ABC]$ e o raio da circunferência inscrita ao triângulo
c) As coordenadas do Baricentro de $\Delta[ABC]$
d)As coordenadas do Ortocentro de $\Delta[ABC]$
e) A área e o perímetro de $\Delta[ABC]$
f)As equações reduzidas das circunferências que passam em $A$ e são tangentes a $BC$ em $B$ e em $C$.
g) Valores aproximados para os angulos internos de $\Delta[ABC]$.
Acredito que depois de terem calculado isto tudo à mão sem eu ter dado as soluções o leitor percebe porque dá jeito ter uma ferramenta tecnológica que o faça... nem que seja para confirmar cálculos. Sem o meu programa de calculadora, hoje em dia poderá recorrer a ferramentas como o geogebra...
Eu vou convertê-lo para TI-84Plus CE.
O código não é Python.
É basic.
Eventualmente vou escrever uma versão python para a minha numworks, e uma em Mathematica para ter à mão nos meus raspberrypi.
Quanto às soluções...deixo-as um dia.
Num post recente eu referi que 'imaginários' são um péssimo nome para coisas que existem ema Matemática. Só que, designações 'péssimas' não são um exclusivo da Matemática.
Um 'Buraco negro' não é um buraco. Aliás nos anos 50-60, na ficção cientifico até lhe chamavam 'Estrela negra' porque pensaram no assunto como se fosse uma estrela com tanta massa que nem a luz escapava à sua gravidade (!). Tenho a vaga ideia de ter ouvido James T. Kirk usar a designação num dos episódios originais de Star Trek.
Mas o conceito considerado correcto já existia antes. "Frozen star", "Collapsed star", "Gravitationally completely collapsed star"...
A designação "buraco negro" foi popularizada por John Archibald Wheeler, orientador e colaborador de Richard Feynman.
Wheeler escolheu-a por ser curta, visual e transmitir bem a ideia de uma região de onde nem a luz escapa.
Mas o conceito é mais antigo (vem do século XIX com Michell e Laplace, e depois com Schwarzschild em 1916), mas a designação “buraco negro” é de Wheeler.
Já ouviram falar em "universos paralelos"? Aquele paralelismo é metafórico.
Não é geométrico!
Tenho ali uma National Geographic, e um vídeo com Neil deGrasse Tyson onde dizem que o problema dos 3 corpos é 'irresoluvel'. Atenção: o senhor Tyson também não é um vigarista.
Consegue-se resolver o problema em casos particulares. Até eu consegui obter soluções analíticas. Os chamados pontos de Lagrange são pontos que, cada um deles junto a uma solucão de um problema de dois corpos dão uma solucao para o problema dos 3 corpos. Eu também estou a simplificar de forma um bocado abusiva este caso. O que se passa é que na verdade o problema não é literalmente irresoluvel.
Não existe é uma 'solução fechada' para o caso geral. Mas existem para casos particulares.
Eu sou matemático e não astrofísico, ou sequer físico. Este problema consegue formular-se como um sistema de equações diferenciais ordinárias, e então aí entro eu.
Por isso, conheço este problema um bocadinho melhor.
Tenciono voltar a falar deste problema no futuro. Até é mais giro com equacões, gráficos e animações. Este até foi engracado, porque foi o problema que me introduziu à versão da análise numérica do estudo de sistemas de equacões diferenciais, que não estudei na minha licenciatura...
Na altura tive de fabricar solucões analiticas para confirmar que os meus métodos numéricos funcionavam.
A título de curiosidade, quem me apresentou o problema foi o professor Jorge Buescu na primeira metade de 2008.
Voltando ao assunto, há muitos mais nomes científicamente maus. Até os populares 'matéria escura' e 'energia escura'.
Nomes que induzem em erro, em muita venda de banha de cobra... e assuntos para outros textos neste blog.
Uma pergunta que já toda a gente que de alguma forma está associada ao ensino de Matemática já ouviu é 'para que é que isto serve'?
A resposta mais óbvia é: "Neste momento, para passar esta disciplina/cadeira."
Resposta parva, mas verdadeira. Só que cada caso é um caso.
No caso das progressões geométricas, em explicações, eu usei muitas vezes a lenda da criação do xadrez, fractais – sim, com C– gerados por mim, em calculadoras, softwares computacionais, tabelas de folhas de calculo com problemas de juros.
Em finais de Janeiro de 2020, Fevereiro de 2020... Apareceu o Covid-19. Na altura não lhe dei atenção. Parecia-me o tipo de alarmismo de click-bait ou de jornal sensacionalista. Mas as notícias de repente estavam em todo o lado.
Olhando para os números de pessoas infectadas,vi uma sucessão crescente. O ritmo de crescimento diário levou-me a copiar os números para uma folha de cálculo e...
Aquilo era o tipo de coisas que eu sempre tinha visto em livros e não na vida real.
Pela segunda vez na vida estava a ver ficcão tornar-se realidade. A primeira vez foi a 11 de Setembro de 2001, em que ligando a TV, ao ver os aviões a bater nas Torres gémeas pensei "que efeitos especiais fantásticos", que filme é este? Só que não era filme. Era noticia em todo o lado.
Em 2020.... aquele crescimento era uma progressão geométrica. E como eu até à altura dizia aos meus alunos e explicandos: "As progressões geométricas quando crescem, não crescem, explodem."
Aqueles números estavam em progressão geométrica, de razão 1.4 (Já não me recordo se a cada dia ou a cada dois dias... um dia revejo e actualizo este texto).
A progressão geométrica é uma versão discreta de algo que em Matemática que se chama função exponencial.
Afinal o alarmismo, tinha razão de ser. Com aqueles dados na mão, o que qualquer pessoa responsável tinha de fazer era comunicar ao país.
E foi o que fez o professor Jorge Buescu. Teve a coragem de o fazer na altura, correndo o grande risco de ser ridicularizado, insultado e todo o tipo de infortúnios que vem com a decisão.
Aquele alerta teve mesmo de ser feito! Estava em risco o colapso de todos os sistemas de saúde do país.
No 4o ano da minha Licenciatura tive uma cadeira que no meu certificado de habilitações consta como 'opcão ' e que na verdade eu não a escolhi, e nunca a escolheria nem com uma pistola apontada à cabeça.
Mas nessa cadeira aprendi um "método do Simplex para variáveis limitadas", onde éramos confrontados com problemas de optimização linear com várias variáveis, todas limitadas, isto é, cada uma entre dois valores.
O conceito de 'variável limitada', na verdade, é muito realista. Mesmo fora daquela área.
Todos os recursos do planeta são limitados. Por maiores que sejam.
Uma consequência disto é: nada que funcione com progressões geométricas crescentes é sustentável na vida real.
Em particular, na Economia.
Existem esquemas 'de lucro fácil' que em Portugal e muitos países são ilegais: Esquemas em pirâmide. E têm uma progressão geométrica descarada: cada pessoa que entra tem de trazer outras pessoas para o esquema. Todos têm de contribuir!!!
Não é preciso ser matemático para perceber que há qualquer coisa a funcionar mal neste esquema, é? Tanto as quantidades de pessoas como a quantidade de dinheiro disponível no planeta são limitados. Incluindo o (dinheiro) falso.
Portanto... um matemático que entre num esquema destes ou é um vigarista, ou foi formado por incompetentes.
Não estamos a falar de alunos que eu conheci num semestre e foram embora. Estamos a falar de alunos que me aturaram durante 6 a 12 semestres, e ainda entram em contacto hoje em dia.
'Em que é que vou usar isto'?
Pode-se usar, por exemplo, para reconhecer pandemias... incompetentes e vigaristas.
A legislação pode falhar. Mas a Matemática não!
