O produto cartesiano desses conjuntos, define-se assim
\[ A_1 \times \cdots \times A_n = \left\{ {\left( {a_1 , \cdots ,a_n } \right);a_k \in A_k ,k = 1, \cdots ,n} \right\} \] E se os $A_k$ forem todos um mesmo conjunto $A$, até se simplifica a notação para $A^n$
Isto é: \[ A^n = A \times \cdots \times A = \left\{ {\left( {a_1 , \cdots ,a_n } \right);a_k \in A,k = 1, \cdots ,n} \right\} \] Por exemplo, \[ \C^3 = \left\{ {\left( {z_1 ,z_2 ,z_3 } \right);z_k \in \C,k = 1,2,3} \right\} \] e $(i,1+i,1-i)\in \C^3$
Como o leitor deverá saber, cada entrada daquela lista ordenada entre parêntesis chama-se normalmente de coordenada.
E se tivermos infintas coordenadas? Como poderemos definir $A^\infty$ ? O problema não é assim tão trivial. Pode apetecer dizer que $A^\infty$ "é" o conjunto das sucessões de termos em $A$, ou seja, $$A^\infty=A^{\N_1}$$ Só que graças a Cantor, sabemos que "há infinitos maiores do que outros", e assim sendo, esta definição não é satisfatória.
O facto de existir $A^{\N_1}$, mostra que a ideia de "dimensão infinita" não é disparate, nem inútil.
Então, temos vários "conjuntos de dimensão infinita", que são classificados e estudados... e úteis no mundo real, não são meras abstracções matemáticas para entreter algumas mentes.
Por hoje paro aqui. Deixei "dimensão infinita" entre aspas porque de facto, não defini rigorosamente o conceito. Dei uma ideia intuitiva. O leitor mais curioso poderá investigar o assunto, questionar uma AI... ou simplesmente esperar pelo meu próximo texto.
Neste momento são 3 da manhã, e vou fazer outra coisa...
(continua num próximo post)
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