Dedico este texto a quem não gosta da convenção $0^0=1$ em séries de potências e polinómios.
Para ser honesto, também não sou o maior fã, principalmente quando temos de a usar com público com menos conhecimento.
A abordagem deste texto é informal, e não vou ser rigoroso nem mesquinho
Um polinómio é uma expressão do tipo
\[p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n\] onde $n\in \N_1$. Os expoentes vão de $1$ a $n$
o $n$ chamamos grau do polinómio, e os $a_k$, com $k$ a variar entre $0$ e $n$, são elementos de uma estrutura algébrica qualquer onde se podem definir polinómios. Não interessa qual.
Como escrevi os termos de grau $1$ e grau $2$, o bom senso sugere-nos que naquela expressão $n$ é pelo menos $3$.
Mas isso são detalhes, que nesta exposição, peço que façam o esforço de ignorar.
Se eu quiser escrever como somatório, posso escrever
\[p(x)=a_0+\sum_\limits{k=1}^{n}a_kx^k\]
Isto é chato.
Tenho mesmo de ter o $a_0$ fora do somatório?
E aqui chegamos ao problema. Como $x^0=1$ para $x\neq0$ apetece escrever
\[p(x)=\sum_\limits{k=0}^{n}a_kx^k\]
Mas e para $x=0$?
Se convencionarmos $0^0=1$ naquela fórmula, funciona!
Só que sabemos que $0^0$ não é $1$.
No texto "zero elevado a zero" do blog Z0nα Exact4, até mostro um $0^0$ a dar $2026$, e até podia ter posto aquilo a dar um número positivo qualquer.
A convenção não é confortável exactamente por isso, e compreendo que não se goste dela.
Para quem não gosta, mas ainda quer uma notação compacta, podemos definir a função "conveniente potência" (escolhi o nome de propósito para ficar com as minhas iniciais :), só que podem chamar-lhe outra coisa qualquer e usar outra notação qualquer )
\[p(x)=\sum_\limits{k=0}^{n}a_kx^{\{ k\}}\]
Se quiserem estender para expoentes negativos (por exemplo para séries de Laurent) também podem, convém é garantir que a potência está bem definida.
Obviamente, isto é só uma sugestão e até duvido que tenha sido eu o primeiro a pensar nisto. Já discuti isto várias vezes com algumas pessoas.
Pode ser um belo disparate, no entanto é uma alternativa à convenção $0^0=1$ em polinómios e séries de potências.
PS: Já agora, sim, sinto-me um pouco vigarista com isto. Só redefino a potência para evitar convenções. Não é uma solução óbvia?
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