A quantificação da dor

 A quantificação rigorosa da dor é feita através de escalas validadas (numéricas, visuais ou multidimensionais) que permitem medir intensidade, qualidade e impacto da dor na vida do paciente.

Em Portugal, a dor é considerada o 5.º sinal vital, devendo ser avaliada e registada sistematicamente.

A dor como 5º Sinal Vital (DGS - Comissão nacional de controlo da dor)

Sofrendo eu de dores crónicas, o assunto passou a interessar-me. Não do ponto de vista neurológico, académico, mas de um ponto de vista... matemático, rigoroso.

A dor chega a ser incapacitante, ao ponto de, no meu caso, após tomar medicação, eu sincronizar o ponto em que a dor é mais fraca com a hora em que vou dormir, caso contrário, não durmo.

Não existe um “instrumento físico” que meça a dor como um termómetro mede a temperatura. A dor é subjectiva e multidimensional, mas há instrumentos clínicos validados que permitem quantificá-la de forma rigorosa e comparável, combinando escalas numéricas, visuais e questionários multidimensionais

(fonte: o site da dor)

A forma mais rigorosa de medir a dor hoje é através de instrumentos multidimensionais validados como o questionário de McGill ou Brief Pain Inventory (BPI), que combinam intensidade, qualidade e impacto funcional. Embora não sejam “objetivos” como um termómetro, são considerados cientificamente robustos e permitem monitorizar a dor de forma sistemática e comparável.

Não captam toda a complexidade da função “dor”, mas fornecem variáveis fiáveis para análise e acompanhamento clínico.

Há formas de converter estes questionários em dados numéricos para análise estatística.

Como paciente, confio nos profissionais que me acompanham.

Como matemático... não sou fã disto, sei que é o que há, no entanto sempre que a dor abusa, o assunto regressa à minha mente...

Imagens criadas com Microsoft Copilot.

Python, bom senso e Calculadoras

 

Há vários anos que tenho alguns problemas com a forma como as calculadoras são usadas no ensino. Tornaram-se obrigatórias, são mais baratas do que a maioria dos smartphones que os alunos usam — e, ainda assim, ficam muito atrás deles.

Agora… todas “têm de ter Python”. (???)

Como já referi antes, não gosto da ideia de usar calculadoras programáveis em que o código útil e prático tem de ser escrito num computador e não directamente na máquina.

O programa de geometria do texto anterior foi totalmente escrito na calculadora, em Basic.

Fazer isso em Python é hercúleo e pouco prático.

Não tenho nada contra escrever e correr Python num computador, ou até num smartphone.

Mas não é prático ter de recorrer a um computador para escrever código para uma calculadora.

A verdadeira ideia de uma calculadora é ser usada para resolver problemas on the fly. Isso pode incluir escrever código directamente nela — e nenhuma das calculadoras actuais é prática nesse aspecto (relativamente a Python). Para isso, prefiro um tablet, um smartphone ou um computador.

No meu caso, que tenho dores crónicas, o Basic das Casio e Texas Instruments é muito mais prático que o Python num PC.

O código do programa do texto anterior foi escrito directamente na calculadora, comigo deitado, depois de ter deduzido as fórmulas com papel e lápis!

Eu escrevo Python e Bash remotamente num terminal no meu smartphone, ligado via Wifi a um dos meus Raspberry Pis (são single board computers, por isso para mim têm género masculino).

Mas não nas minhas calculadoras.

O problema não é o Python.

É tentarem impor o Python em calculadoras numa sociedade onde já existem tablets, smartphones… e Raspberry Pis.

Nas calculadoras, o Basic ainda é a linguagem mais prática para escrever directamente na máquina.

Se querem mesmo que o Python se torne mais interessante nelas, repensem as calculadoras.

Não é só impor Python à força por ser a linguagem da moda e esperar que tudo corra bem…

Problemas de geometria clássica em geometria analítica

 Por estes dias, nos intervalos das minhas noites como enfermeiro, quando as minhas dores vão incomodam muito, ando a revisitar/modificar alguns dos meus programas de calculadora.

Em particular, um cuja última versão era de 2014, na minha Casio fx-9860GII SD em que dados 3 pontos do plano, dá as coordenadas de circuncentro, incentro, ortocentro, baricentro, do triângulo cujos vértices são esses pontos. Ainda dá os raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo, e ainda desenha o triângulo e essas circunferências.

Para escrever o código na altura eu deduzi as fórmulas para as coordenadas de incentro e circuncentro.
Penso que devem reencontrar as deduções nos meus blogues anteriores, mas um dia deixo para aqui as fórmulas dessas coisas. Para ortocentro e baricentro, limitei-me a recorrer aos métodos geométricos e escrevê-los algebricamente na calculadora.

Agora juntei algo óbvio: determinar a área e o perímetro desse triângulo, assim como os ângulos internos. E ainda algo novo: dados os pontos $A,B$ e $C$. quais as coordenadas dos centros e raios das circunferências que passam em $A$ e são tangentes a $BC$ em $B$ e em $C$.
 [Para quê? Isso fica no segredo dos deuses]

Tendo em conta o que eu acabei de escrever, é óbvio que eu sei calcular  e desenhar tudo isso com papel e lápis. 

Por isso, vou propor este exercício:

Considere os pontos $A(-1,-2)$; $B(2,3)$ e $C(0,5)$.

Determine:

a) As coordenadas do circuncentro de $\Delta[ABC]$ e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo

b) As coordenadas do incentro de $\Delta[ABC]$ e o raio da circunferência inscrita ao triângulo

c) As coordenadas do Baricentro de $\Delta[ABC]$

d)As coordenadas do Ortocentro de $\Delta[ABC]$

e) A área e o perímetro de $\Delta[ABC]$

f)As equações reduzidas das circunferências que passam em $A$ e são tangentes a $BC$ em $B$ e em $C$.

g) Valores aproximados para os angulos internos de $\Delta[ABC]$.

Acredito que depois de terem calculado isto tudo à mão sem eu ter dado as soluções o leitor percebe porque dá jeito ter uma ferramenta tecnológica que o faça... nem que seja para confirmar cálculos. Sem o meu programa de calculadora, hoje em dia poderá recorrer a ferramentas como o geogebra...

Eu vou convertê-lo para TI-84Plus CE.
O código não é Python.
É basic.

 Eventualmente vou escrever uma versão python para a minha numworks, e uma em Mathematica para ter à mão nos meus raspberrypi.

Quanto às soluções...deixo-as um dia.

Imprecisões científicas

 Num post recente eu referi que 'imaginários' são um péssimo nome para coisas que existem ema Matemática. Só que,  designações 'péssimas'  não são um exclusivo da Matemática.

Um 'Buraco negro' não é um buraco. Aliás nos anos 50-60, na ficção cientifico até lhe chamavam 'Estrela negra' porque pensaram no assunto como se fosse uma estrela com tanta massa que nem a luz escapava à sua gravidade (!). Tenho a vaga ideia de ter ouvido James T. Kirk usar a designação num dos episódios originais de Star Trek.

Mas o conceito considerado correcto já existia antes. "Frozen star", "Collapsed star", "Gravitationally completely collapsed star"...

A designação "buraco negro" foi popularizada por John Archibald Wheeler, orientador e colaborador de Richard Feynman.

 Wheeler escolheu-a por ser curta, visual e transmitir bem a ideia de uma região de onde nem a luz escapa.

Mas o conceito é mais antigo (vem do século XIX com Michell e Laplace, e depois com Schwarzschild em 1916), mas a designação “buraco negro” é de Wheeler.

Já ouviram falar em "universos paralelos"? Aquele paralelismo é metafórico.

 Não é geométrico!

Tenho ali uma National Geographic, e um vídeo com Neil deGrasse Tyson onde dizem que o problema dos 3 corpos é 'irresoluvel'. Atenção: o senhor Tyson também não é um vigarista.

Consegue-se resolver o problema em casos particulares. Até eu consegui obter soluções analíticas. Os chamados pontos de Lagrange são pontos que, cada um deles junto a uma solucão de um problema de dois corpos dão uma solucao para o problema dos 3 corpos. Eu também estou a simplificar de forma um bocado abusiva este caso. O que se passa é que na verdade o problema não é literalmente irresoluvel.

Não existe é uma 'solução fechada' para o caso geral. Mas existem para casos particulares.

Eu sou matemático e não astrofísico, ou sequer físico.  Este problema consegue formular-se como um sistema de equações diferenciais ordinárias, e então aí entro eu.

 Por isso, conheço este problema um bocadinho melhor.

Tenciono voltar a falar deste problema no futuro. Até é mais giro com equacões, gráficos e animações. Este até foi engracado, porque foi o problema que me introduziu à versão da análise numérica do estudo de sistemas de equacões diferenciais, que não estudei na minha licenciatura...

Na altura tive de fabricar solucoes analiticas para confirmar que os meus métodos numéricos funcionavam.

A título de curiosidade, quem me apresentou o problema foi o professor Jorge Buescu na primeira metade de 2008.

Voltando ao assunto, há muitos mais nomes científicamente maus. Até os populares 'matéria escura' e 'energia escura'.

Nomes que induzem em erro, em muita venda de banha de cobra... e assuntos para outros textos neste blog.

Progressões geométricas na vida real

 Uma pergunta que já toda a gente que de alguma forma está associada ao ensino de Matemática já ouviu é 'para que é que isto serve'?

A resposta mais óbvia é: "Neste momento, para passar esta disciplina/cadeira." 

Resposta parva, mas verdadeira. Só que cada caso é  um caso.

No caso das progressões geométricas, em explicações, eu usei muitas vezes a lenda da criação do xadrez, fractais – sim, com C– gerados por mim, em calculadoras, softwares computacionais, tabelas de folhas de calculo com problemas de juros.

Em finais de Janeiro de 2020, Fevereiro de 2020... Apareceu o Covid-19. Na altura não lhe dei atenção. Parecia-me o tipo de alarmismo de click-bait ou de jornal sensacionalista. Mas as notícias de repente estavam em todo o lado.

Olhando para os números de pessoas infectadas,vi uma sucessão crescente. O ritmo de crescimento diário levou-me a copiar os números para uma folha de cálculo e...

Aquilo  era o tipo de coisas que eu sempre tinha visto em livros e não na vida real.

Pela segunda vez na vida estava a ver ficcão tornar-se realidade. A primeira vez foi a 11 de Setembro de 2001, em que ligando a TV, ao ver os aviões a bater nas Torres gémeas pensei "que efeitos especiais fantásticos", que filme é este? Só que não era filme. Era noticia em todo o lado.

Em 2020.... aquele crescimento era uma progressão geométrica. E como eu até à altura dizia aos meus alunos e explicandos: "As progressões geométricas quando crescem, não crescem, explodem."

Aqueles números estavam em progressão geométrica, de razão 1.4 (Já não me recordo se a cada dia ou a cada dois dias... um dia revejo e actualizo este texto).

A progressão geométrica é uma versão discreta de algo que em Matemática que se chama função exponencial.

Afinal o alarmismo, tinha razão de ser. Com aqueles dados na mão, o que qualquer pessoa responsável tinha de fazer era comunicar ao país.

E foi o que fez o professor Jorge Buescu. Teve a coragem de o fazer na altura, correndo o grande risco de ser ridicularizado, insultado e todo o tipo de infortúnios que vem com a decisão.
Aquele alerta teve mesmo de ser feito! Estava em risco o colapso de todos os sistemas de saúde do país.

No 4o ano da minha Licenciatura tive uma cadeira que no meu certificado de habilitações consta como 'opcão ' e que na verdade eu não a escolhi, e nunca a escolheria nem com uma pistola apontada à cabeça.
Mas nessa cadeira aprendi um "método do Simplex para variáveis limitadas", onde éramos confrontados com problemas de optimização linear com várias variáveis, todas limitadas, isto é, cada uma entre dois valores.

O conceito de 'variável limitada', na verdade, é muito realista. Mesmo fora daquela área.

 Todos os recursos do planeta são limitados. Por maiores que sejam.
Uma consequência disto é: nada que funcione com progressões geométricas crescentes é sustentável na vida real.

Em particular, na Economia. 

Existem esquemas 'de lucro fácil' que em Portugal e muitos países são ilegais:  Esquemas em pirâmide. E têm uma progressão geométrica descarada: cada pessoa que entra tem de trazer outras pessoas para o esquema. Todos têm  de contribuir!!!

Não é preciso ser matemático para perceber que há qualquer coisa a funcionar mal neste esquema, é? Tanto as quantidades de pessoas como a quantidade de dinheiro disponível no planeta são limitados. Incluindo o (dinheiro) falso.

Portanto... um matemático que entre num esquema destes ou é um vigarista, ou foi formado por incompetentes.

Aqui na Madeira, depois do esquema TelexFree, (de que já falei e analisei noutros blogs) a situação é bem mais grave.

E se eu vos disser que... um dia, alguns ex-alunos meus, que não se conhecem entre si, que foram alunos meus durante no mínimo 3, e os mais velhos, 6 ou mais anos foram assediados para um esquema destes, por alguém... de Matemática?

Como se sentirá um aluno ao entrar numa sala de aula e ver à frente, como professor, alguém que o tentou meter num esquema em pirâmide?

Não estamos a falar de alunos que eu conheci num semestre e foram embora. Estamos a falar de alunos que me aturaram durante 6 a 12 semestres, e ainda entram em contacto hoje em  dia.

'Em que é que vou usar isto'?
Pode-se usar, por exemplo, para reconhecer pandemias... incompetentes e vigaristas.

A legislação pode falhar. Mas a Matemática não!

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PS: de momento não estou a dar explicações, mas posso fazer trabalho de consultadoria matemática. Passo recibo... por enquanto como explicador, depois investigo o melhor quadro legal da coisa.

Se já há "personal trainers" de Matemática, isto parece-me bem mais legítimo, e ajuda-me a pagar contas.

Se está a ler este blog e quer saber mais sobre progressões geométricas ... pesquise. Com sorte até encontra algo escrito por mim.

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Revisões

• 26/09/2025-Pequenas Correcções de texto

Kepler, Newton, Apostol e Feynman.

Quando eu estava no secundário aprendi "as três" leis de Kepler sobre o movimento dos planetas.
Sei que as duas primeiras foram publicadas em 1609 e a terceira em 1619.
Também sei que ele enunciou outras, mas que não se verificam.
Estas leis foram baseadas em observações detalhadas de Tycho Brahe.
Podem ser aceites como postulados, mas também conseguem ser deduzidas a partir das leis de Newton, incluindo a lei da gravitação universal.
Bem... mais ou menos.
Eu um dia fiz as contas, recorrendo apenas a mecânica newtoniana e a geometria analítica, mas mais tarde ataquei a primeira lei como um sistema de equações diferenciais ordinárias.
A primeira lei de Kepler diz que as órbitas dos planetas são elipses, em que o Sol está num dos focos.
Vamos substituir elipses por "aproximadamente elipses". É que para serem exactamente elipses, a resultante das forças sobre cada planeta teria de ser a força exercida pelo Sol. De facto, a curto prazo, podem-se considerar desprezáveis as forças exercidas por outros planetas.
Só que... por exemplo no nosso sistema solar existe um gigante chamado Júpiter.

"O planeta mais perto de Júpiter, se não me engano, é Marte"
( Esta afirmação tem muito que se diga, mas vou deixar assim, e discuto o assunto noutro texto ).
 A força exercida por Júpiter em Marte em cada rotação, pode ser vista como um pequeno empurrão. Depois de milhões de 'pequenos empurrões', já altera a trajectória de Marte.
 Vi recentemente  Neil deGrasse Tyson dizer isto ou algo parecido.
Consegue-se confirmar matematicamente o que ele disse.

Em Março de 1998 estive hospitalizado (e isolado) durante um mês no hospital central do Funchal.
Na altura, para bem da minha sanidade mental, pedi a minha mãe para me levar alguns dos meus livros de banda desenhada e um livro de Cálculo de Tom Apostol.
Acabei por ler o livro todo.
O livro está um pouco desactualizado para os padrões de hoje em dia, mas continua a ter uma caracteristica que falta a muitos livros actuais: é didáctico.
No fim do livro ele tem um capítulo de geometria analítica, introduz as cónicas, e resolve o "problema de força central", que não é mais do que descobrir a trajectória de um corpo sujeito apenas à força de outro, por outras palavras, grosso modo, provar a primeira lei de Kepler.
Pegando naquelas ideias consegui, mais tarde, sem recorrer a mecânica Lagrangiana, resolver analiticamente o problema dos dois corpos. E tendo esse problema resolvido consegui conceber alguns exemplos para atacar o "problema restrito dos 3 corpos". Matematicamente e numericamente!!!!
Portanto, quem quiser seguir os meus passos, tem aqui os ingredientes. Já tive um pdf com os cálculos online... Se algum dia eu os refizer, ficam no meu Blog Z0nα Exact4.
A história não fica por aqui. Em 2008/2009, o professor Luís Trabucho, na faculdade de ciências e tecnologia da Universidade Nova de Lisboa deixou-me assistir às aulas de Mecânica Analítica sem estar inscrito na cadeira, por mera curiosidade minha.
Nessa cadeira ele falou de um livro sobre "A lição esquecida de Feynman", que só consegui obter mais de 10 anos depois.

Livro onde foi reconstruída uma lição de Richard Feynman em que provou a primeira lei de Kepler sem recorrer a cálculo diferencial nem integral.
Na verdade o que ele fez foi reorganizar muito bem algumas ideias...

Bom. Vou poupar a bateria do smartphone...
Até à próxima.

O algoritmo de Euclides e fracções contínuas simples.

O algoritmo de Euclides consiste numa sequência de divisões inteiras para determinar o máximo divisor comum entre dois números naturais. Não o vou descrever, o leitor interessado investiga e encontra sem problemas.
Vou dar um exemplo.
Suponhamos que se pretende calcular $mdc(310402,23725)$. Faz-se: \begin{eqnarray*} {310402}&{=}&{23725\times {\color{blue}13}+1977}\\ {23725}&{=}&{1977\times {\color{blue}12}+{\color{red}1}}\\ {1977}&{=}&{1\times {\color{blue}1977}+0} \end{eqnarray*} O último resto diferente de zero, é ${\color{red}1}$ logo $mdc(310402,23725)={\color{red}1}$.
Isto implica que a fracção $\frc{310402}{23725}$ é irredutível. Estão a ver aqueles números a azul? \[\frc{310402}{23725}=[{\color{blue}13};{\color{blue}12},{\color{blue}1977}]\] Ou seja, \[\frc{310402}{23725}={\color{blue}13}+\frc{1}{{\color{blue}12}+\frc{1}{{\color{blue}1977}}}\] No post anterior eu demonstrei por indução, umas fórmulas de recorrência. Desta vez deixo a cargo do leitor o trabalho de escrever uma demonstração de que sempre que temos uma fracção irredutível, isto funciona. É mais simples, mas mesmo assim dou uma sugestão: comece por obter o desenvolvimento em fracção contínua passo por passo, sem recorrer ao algoritmo das fracções contínuas, recorrendo apenas ao algoritmo de Euclides.
Note-se que o facto de o algoritmo de Euclides ter um número finito de passos, implica que um número racional terá sempre uma expansão em "fracção simples finita".