Num post recente eu referi que 'imaginários' são um péssimo nome para coisas que existem ema Matemática. Só que, designações 'péssimas' não são um exclusivo da Matemática.
Um 'Buraco negro' não é um buraco. Aliás nos anos 50-60, na ficção cientifico até lhe chamavam 'Estrela negra' porque pensaram no assunto como se fosse uma estrela com tanta massa que nem a luz escapava à sua gravidade (!). Tenho a vaga ideia de ter ouvido James T. Kirk usar a designação num dos episódios originais de Star Trek.
Mas o conceito considerado correcto já existia antes. "Frozen star", "Collapsed star", "Gravitationally completely collapsed star"...
A designação "buraco negro" foi popularizada por John Archibald Wheeler, orientador e colaborador de Richard Feynman.
Wheeler escolheu-a por ser curta, visual e transmitir bem a ideia de uma região de onde nem a luz escapa.
Mas o conceito é mais antigo (vem do século XIX com Michell e Laplace, e depois com Schwarzschild em 1916), mas a designação “buraco negro” é de Wheeler.
Já ouviram falar em "universos paralelos"? Aquele paralelismo é metafórico.
Não é geométrico!
Tenho ali uma National Geographic, e um vídeo com Neil deGrasse Tyson onde dizem que o problema dos 3 corpos é 'irresoluvel'. Atenção: o senhor Tyson também não é um vigarista.
Consegue-se resolver o problema em casos particulares. Até eu consegui obter soluções analíticas. Os chamados pontos de Lagrange são pontos que, cada um deles junto a uma solucão de um problema de dois corpos dão uma solucao para o problema dos 3 corpos. Eu também estou a simplificar de forma um bocado abusiva este caso. O que se passa é que na verdade o problema não é literalmente irresoluvel.
Não existe é uma 'solução fechada' para o caso geral. Mas existem para casos particulares.
Eu sou matemático e não astrofísico, ou sequer físico. Este problema consegue formular-se como um sistema de equações diferenciais ordinárias, e então aí entro eu.
Por isso, conheço este problema um bocadinho melhor.
Tenciono voltar a falar deste problema no futuro. Até é mais giro com equacões, gráficos e animações. Este até foi engracado, porque foi o problema que me introduziu à versão da análise numérica do estudo de sistemas de equacões diferenciais, que não estudei na minha licenciatura...
Na altura tive de fabricar solucoes analiticas para confirmar que os meus métodos numéricos funcionavam.
A título de curiosidade, quem me apresentou o problema foi o professor Jorge Buescu na primeira metade de 2008.
Voltando ao assunto, há muitos mais nomes científicamente maus. Até os populares 'matéria escura' e 'energia escura'.
Nomes que induzem em erro, em muita venda de banha de cobra... e assuntos para outros textos neste blog.
Uma pergunta que já toda a gente que de alguma forma está associada ao ensino de Matemática já ouviu é 'para que é que isto serve'?
A resposta mais óbvia é: "Neste momento, para passar esta disciplina/cadeira."
Resposta parva, mas verdadeira. Só que cada caso é um caso.
No caso das progressões geométricas, em explicações, eu usei muitas vezes a lenda da criação do xadrez, fractais – sim, com C– gerados por mim, em calculadoras, softwares computacionais, tabelas de folhas de calculo com problemas de juros.
Em finais de Janeiro de 2020, Fevereiro de 2020... Apareceu o Covid-19. Na altura não lhe dei atenção. Parecia-me o tipo de alarmismo de click-bait ou de jornal sensacionalista. Mas as notícias de repente estavam em todo o lado.
Olhando para os números de pessoas infectadas,vi uma sucessão crescente. O ritmo de crescimento diário levou-me a copiar os numeros para uma folha de cálculo e...
Aquilo era o tipo de coisas que eu sempre tinha visto em livros e não na vida real.
Pela segunda vez na vida estava a ver ficcão tornar-se realidade. A primeira vez foi a 11 de Setembro de 2001, em que ligando a TV, ao ver os aviões a bater nas Torres gémeas pensei "que efeitos especiais fantásticos", que filme é este? Só que não era filme. Era noticia em todo o lado.
Em 2020.... aquele crescimento era uma progressão geométrica. E como eu até à altura dizia aos meus alunos e explicandos: "As progressões geométricas quando crescem, não crescem, explodem."
Aqueles números estavam em progressão geométrica, de razão 1.4 (Já não me recordo se a cada dia ou a cada dois dias... um dia revejo e actualizo este texto).
A progressão geométrica é uma versão discreta de algo que em Matemática que se chama função exponencial.
Afinal o alarmismo, tinha razão de ser. Com aqueles dados na mão, o que qualquer pessoa responsável tinha de fazer era comunicar ao país.
E foi o que fez o professor Jorge Buescu. Teve a coragem de o fazer na altura, correndo o grande risco de ser ridicularizado, insultado e todo o tipo de infortúnios que vem com a decisão. Aquele alerta teve mesmo de ser feito! Estava em risco o colapso de todos os sistemas de saúde do país.
No 4o ano da minha Licenciatura tive uma cadeira que no meu certificado de habilitações consta como 'opcão ' e que na verdade eu não a escolhi, e nunca a escolheria nem com uma pistola apontada à cabeça. Mas nessa cadeira aprendi um "método do Simplex para variáveis limitadas", onde éramos confrontados com problemas de optimização linear com várias variáveis, todas limitadas, isto é, cada uma entre dois valores.
O conceito de 'variável limitada', na verdade, é muito realista. Mesmo fora daquela área.
Todos os recursos do planeta são limitados. Por maiores que sejam. Uma consequência disto é: nada que funcione com progressões geométricas crescentes é sustentável na vida real.
Em particular, na Economia.
Existem esquemas 'de lucro fácil' que em Portugal e muitos países são ilegais: Esquemas em pirâmide. E têm uma progressão geométrica descarada: cada pessoa que entra tem de trazer outras pessoas para o esquema. Todos têm de contribuir!!!
Não é preciso ser matemático para perceber que há qualquer coisa a funcionar mal neste esquema, é? Tanto as quantidades de pessoas como a quantidade de dinheiro disponível no planeta são limitados. Incluindo o (dinheiro) falso.
Portanto... um matemático que entre num esquema destes ou é um vigarista, ou foi formado por incompetentes.
Aqui na Madeira, depois do esquema TelexFree, (de que já falei e analisei noutros blogs) a situação é bem mais grave.
E se eu vos disser que... um dia, alguns ex-alunos meus, que não se conhecem entre si, que foram alunos meus durante no mínimo 3, e os mais velhos, 6 ou mais anos foram assediados para um esquema destes, por alguém... de Matemática?
Como se sentirá um aluno ao entrar numa sala de aula e ver à frente, como professor, alguém que o tentou meter num esquema em pirâmide?
Não estamos a falar de alunos que eu conheci num semestre e foram embora. Estamos a falar de alunos que me aturaram durante 6 a 12 semestres, e ainda entram em contacto hoje em dia.
'Em que é que vou usar isto'? Pode-se usar, por exemplo, para reconhecer pandemias... incompetentes e vigaristas.
A legislação pode falhar. Mas a Matemática não!
PS: de momento não estou a dar explicações, mas posso fazer trabalho de consultadoria matemática. Passo recibo... por enquanto como explicador, depois investigo o melhor quadro legal da coisa.
Se já há "personal trainers" de Matemática, isto parece-me bem mais legítimo, e ajuda-me a pagar contas.
Se está a ler este blog e quer saber mais sobre progressões geométricas ... pesquise. Com sorte até encontra algo escrito por mim.
Quando eu estava no secundário aprendi "as três" leis de Kepler sobre o movimento dos planetas. Sei que as duas primeiras foram publicadas em 1609 e a terceira em 1619. Também sei que ele enunciou outras, mas que não se verificam. Estas leis foram baseadas em observações detalhadas de Tycho Brahe.
Podem ser aceites como postulados, mas também conseguem ser deduzidas a partir das leis de Newton, incluindo a lei da gravitação universal.
Bem... mais ou menos.
Eu um dia fiz as contas, recorrendo apenas a mecânica newtoniana e a geometria analítica, mas mais tarde ataquei a primeira lei como um sistema de equações diferenciais ordinárias.
A primeira lei de Kepler diz que as órbitas dos planetas são elipses, em que o Sol está num dos focos.
Vamos substituir elipses por "aproximadamente elipses". É que para serem exactamente elipses, a resultante das forças sobre cada planeta teria de ser a força exercida pelo Sol. De facto, a curto prazo, podem-se considerar desprezáveis as forças exercidas por outros planetas. Só que... por exemplo no nosso sistema solar existe um
gigante
chamado Júpiter.
"O planeta mais perto de Júpiter, se não me engano, é Marte" ( Esta afirmação tem muito que se diga, mas vou deixar assim, e discuto o assunto noutro texto ). A força exercida por Júpiter em Marte em cada rotação, pode ser vista como um pequeno empurrão. Depois de milhões de 'pequenos empurrões', já altera a trajectória de Marte. Vi recentemente Neil deGrasse Tyson dizer isto ou algo parecido. Consegue-se confirmar matematicamente o que ele disse.
Em Março de 1998 estive hospitalizado (e isolado) durante um mês no hospital central do Funchal. Na altura, para bem da minha sanidade mental, pedi a minha mãe para me levar alguns dos meus livros de banda desenhada e um livro de Cálculo de Tom Apostol. Acabei por ler o livro todo. O livro está um pouco desactualizado para os padrões de hoje em dia, mas continua a ter uma caracteristica que falta a muitos livros actuais: é didáctico. No fim do livro ele tem um capítulo de geometria analítica, introduz as cónicas, e resolve o "problema de força central", que não é mais do que descobrir a trajectória de um corpo sujeito apenas à força de outro, por outras palavras, grosso modo, provar a primeira lei de Kepler. Pegando naquelas ideias consegui, mais tarde, sem recorrer a mecânica Lagrangiana, resolver analiticamente o problema dos dois corpos.
E tendo esse problema resolvido consegui conceber alguns exemplos para atacar o "problema restrito dos 3 corpos". Matematicamente e numericamente!!!!
Portanto, quem quiser seguir os meus passos, tem aqui os ingredientes. Já tive um pdf com os cálculos online... Se algum dia eu os refizer, ficam no meu Blog Z0nα Exact4.
A história não fica por aqui. Em 2008/2009, o professor Luís Trabucho, na faculdade de ciências e tecnologia da Universidade Nova de Lisboa deixou-me assistir às aulas de Mecânica Analítica sem estar inscrito na cadeira, por mera curiosidade minha. Nessa cadeira ele falou de um livro sobre "A lição esquecida de Feynman", que só consegui obter mais de 10 anos depois.
Livro onde foi reconstruída uma lição de Richard Feynman em que provou a primeira lei de Kepler sem recorrer a cálculo diferencial nem integral. Na verdade o que ele fez foi reorganizar muito bem algumas ideias...
Bom. Vou poupar a bateria do smartphone...
Até à próxima.
O algoritmo de Euclides consiste numa sequência de divisões inteiras para determinar o máximo divisor comum entre dois números naturais. Não o vou descrever, o leitor interessado investiga e encontra sem problemas.
Vou dar um exemplo.
Suponhamos que se pretende calcular $mdc(310402,23725)$. Faz-se:
\begin{eqnarray*}
{310402}&{=}&{23725\times {\color{blue}13}+1977}\\
{23725}&{=}&{1977\times {\color{blue}12}+{\color{red}1}}\\
{1977}&{=}&{1\times {\color{blue}1977}+0}
\end{eqnarray*}
O último resto diferente de zero, é ${\color{red}1}$ logo $mdc(310402,23725)={\color{red}1}$. Isto implica que a fracção $\frc{310402}{23725}$ é irredutível.
Estão a ver aqueles números a azul?
\[\frc{310402}{23725}=[{\color{blue}13};{\color{blue}12},{\color{blue}1977}]\]
Ou seja,
\[\frc{310402}{23725}={\color{blue}13}+\frc{1}{{\color{blue}12}+\frc{1}{{\color{blue}1977}}}\]
No post anterior eu demonstrei por indução, umas fórmulas de recorrência. Desta vez deixo a cargo do leitor o trabalho de escrever uma demonstração de que sempre que temos uma fracção irredutível, isto funciona. É mais simples, mas mesmo assim dou uma sugestão: comece por obter o desenvolvimento em fracção contínua passo por passo, sem recorrer ao algoritmo das fracções contínuas, recorrendo apenas ao algoritmo de Euclides.
Note-se que o facto de o algoritmo de Euclides ter um número finito de passos, implica que um número racional terá sempre uma expansão em "fracção simples finita".
Demonstração: [Por indução matemática em $n$ ]
Para $n=0$ temos
\[p_0=a_0p_{-1}+p_{-2}=a_0\times 1+ 0=a_0\]
\[q_0=a_0q_{-1}+q_{-2}=a_0\times 0+ 1=1\]
E então \[\frac{p_0}{q_0}=\frac{a_0}{1}=c_0\] portanto é verdade! Hipótese de indução:
$$c_n=[a_0;a_1,\dots,a_n]=a_0+\frc{1}{a_1+\frc{1}{\frc{\cdots}{a_{n-1}+\frc{1}{a_n}}}}=\frc{p_n}{q_n} $$
Tese:
$$c_{n+1}=[a_0;a_1,\dots,a_n,a_{n+1}]=a_0+\frc{1}{a_1+\frc{1}{\frc{\cdots}{a_{n-1}+\frc{1}{a_n+\frc{1}{a_{n+1}}}}}}=\frc{p_{n+1}}{q_{n+1}} $$
Para provar a tese começamos por notar que para calcular $c_{n+1}$ só temos de substituir $a_n$ por $a_n+\frc{1}{a_{n+1}}$ na expressão de $c_n$.
Assim sendo, se $$c_n=\frc{p_n}{q_n}=\frc{a_{n} p_{n-1} + p_{n - 2}}{a_{n} q_{n-1} + q_{n - 2}}$$ então
\begin{eqnarray*}
{c_{n+1}}&{=}&{\frc{\left(a_{n}+\frc{1}{a_{n+1}}\right) p_{n-1} + p_{n - 2}}{\left(a_{n}+\frc{1}{a_{n+1}}\right) q_{n-1} + q_{n - 2}}}\\
{}&{=}&{\frc{\frc{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)p_{n - 1} + a_{n + 1} p_{n - 2} }}{{a_{n + 1} }}}{\frc{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)q_{n - 1} + a_{n + 1} q_{n - 2} }}{{a_{n + 1} }}}}\\
{}&{=}&{\frc{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)p_{n - 1} + a_{n + 1} p_{n - 2} }}{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)q_{n - 1} + a_{n + 1} q_{n - 2} }}}
\end{eqnarray*}
Note-se que de $p_{n} = a_{n} p_{n-1} + p_{n - 2} $ se deduz que $p_{n-2} =p_{n} - a_{n} p_{n-1} $ e também
de $q_{n} = a_{n} q_{n-1} + q_{n - 2} $ se deduz que $q_{n-2} =q_{n} - a_{n} q_{n-1} $
Isso conduz-nos a:
\begin{eqnarray*}
{\frc{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)p_{n - 1} + a_{n + 1} p_{n - 2} }}{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)q_{n - 1} + a_{n + 1} q_{n - 2} }}}&{=}&{\frc{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)p_{n - 1} + a_{n + 1} \left( {p_n - a_n p_{n - 1} } \right)}}{{\left( {a_n a_{n + 1} + 1} \right)q_{n - 1} + a_{n + 1} \left( {q_n - a_n q_{n - 1} } \right)}}}\\
{}&{=}&{\frc{{a_n a_{n + 1} p_{n - 1} + p_{n - 1} + a_{n + 1} p_n - a_n a_{n + 1} p_{n - 1} }}{{a_n a_{n + 1} q_{n - 1} + q_{n - 1} + a_{n + 1} q_n - a_n a_{n + 1} q_{n - 1} }}}\\
{}&{=}&{\frac{{p_{n - 1} + a_{n + 1} p_n }}{{q_{n - 1} + a_{n + 1} q_n }}}\\
{}&{=}&{\frac{{a_{n + 1} p_n+p_{n - 1} }}{{ a_{n + 1} q_n+q_{n - 1}}}}\\
{}&{=}&{\frc{p_{n+1}}{q_{n+1}}}
\end{eqnarray*}
O que termina a demonstração.
Estas fórmulas simplificam bastante o cálculo dos $c_n$.
Na versão da cadeira de Teoria dos Números que eu tive, o professor deu-nos estas fórmulas sem dedução, a que estou a vos apresentar foi a que fiz, mas reencontrei anos mais tarde, num livro da editora Mir. Assim que o reencontrar, ponho a referência. Sim, a minha versão da dedução também foi feita numa mesa de café.
Torna-se tão simples calcular os $c_n$ que se pode construir uma tabela auxiliar.
$n$
$a_n$
$q_n$
$p_n$
$c_n$
$-2$
$-$
$1$
$0$
$-$
$-1$
$-$
$0$
$1$
$-$
$0$
$a_0$
$1$
$a_0$
$a_0$
$1$
$a_1$
$a_1$
$a_1p_0+1$
$\frc{p_1}{q_1}$
...
No caso do $\pi$ a tabela então fica
$n$
$a_n$
$q_n$
$p_n$
$c_n$
$-2$
$-$
$1$
$0$
$-$
$-1$
$-$
$0$
$1$
$-$
$0$
$3$
$1$
$3$
$3$
$1$
$7$
$7$
$22$
$\frc{22}{7}$
$2$
$15$
$106$
$333$
$\frc{333}{106}$
$3$
$1$
$113$
$355$
$\frc{355}{113}$
$4$
$292$
$33102$
$103993$
$\frc{103993}{33102}$
$5$
$1$
$33215$
$104348$
$\frc{104348}{33215}$
$6$
$1$
$66317$
$208341$
$\frc{208341}{66317}$
$7$
$1$
$99532$
$312689$
$\frc{312689}{99532}$
$8$
$2$
$265381$
$833719$
$\frc{833719}{265381}$
$9$
$1$
$364913$
$1146408$
$\frc{1146408}{364913}$
$10$
$3$
$1360120$
$4272943$
$\frc{4272943}{1360120}$
E as contas são bem menos aborrecidas.
O leitor mais atento deverá notar que acabei de identificar a sucessão de há dias. $3$,$\frc{22}{7}$,$\frc{333}{106}$,$\frc{355}{113}$,$\frc{103993}{33102}$,$\frc{104348}{33215}$,$\frc{208341}{66317}$,$\frc{312689}{99532}$,$\frc{833719}{265381}$,$\frc{1146408}{364913}$,$\frc{4272943}{1360120}$ são os primeiros termos da sucessão dos convergentes de $\pi$.
Note que cada uma delas dá um valor aproximado de $\pi$.
Aproveito e vou introduzir uma nova definição:
Chamarei "fracção reduzida" ou abreviadamente "reduzida" a cada valor de $c_n$ quando escrito na forma de fracção irredutível.
Devo continuar num próximo post.
PS:
Em 1997 implementei este algoritmo, incluindo a tabela, numa Casio CFX-9950 G. Num dos 3 dias que levei a escrever este texto, implementei-o (directamente) na minha TI84plus CE-T, em Basic. Clicando no botão abaixo, pode ver fotos do programa a correr.
Com aquelas fórmulas de recorrência, isto até se faz numa folha de cálculo, como MS Excel, LibreOffice Calc, ou no Google Docs, ou até mesmo no Geogebra... No entanto, convém recordar o post anterior e ter noção do problema dos erros associados ao sistema de ponto/vírgula flutuante das folhas.
No texto anterior referi-me aos "erros de arredondamento" no algoritmo (original, sem modificações) das fracções contínuas. Chamar-lhes "erros de arredondamento" não está totalmente correcto. A aritmética das calculadoras não é a dos nossos conhecidos números reais. Nem sequer racionais! Entramos no conjunto dos "números de ponto flutuante" ou "números de vírgula flutuante" se o separador decimal for uma vírgula em vez de um número. Portanto aqueles "erros" devem-se também a outros factores, para além de arredondamentos. Serão esses erros assim tão significativos, como escrevi na altura?
Hoje decidi implementar o algoritmo para calcular os primeiros 59 $(a_n)$ no meu emulador de Zx Spectrum, comparar com os resultados obtidos com o Wolfram Mathematica de um dos meus Raspberry Pi 4b, com uma calculadora Casio, uma Texas Instruments, o Libre Office Calc, e uma calculadora Numworks.
As imagens são da implementação em Zx Spectrum 48k. O valor de $a_9$ já está mal! Vamos lá ver se consigo copiar os resultados das outras máquinas para aqui.
n
Correcto
LibreOffice
calc
Wolfram
Mathematica
Ti84PlusCE
Casio 9860GII
Numworks
Zx Spectrum
48k
0
33
33
33
33
33
33
33
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
5
12
12
12
12
12
12
12
6
1
1
1
1
1
1
1
7
21
21
21
21
21
21
21
8
1
1
1
1
1
1
1
9
1
1
1
1
1
1
3
10
2
2
2
2
2
2
4
11
5
5
5
5
5
5
4
12
4
4
4
4
4
4
1
13
3
3
3
3
3
3
1
14
7
7
7
4
9
7
4
15
5
59
5
2
7
58
1
16
16
6
16
6
1
1
1
17
1
1
1
2
1
2
7
18
2
5
2
1
1
25
2
19
3
7
3
2
1
16
2
20
1
1
1
3
4
1
1
21
1
22
1
1
1
3
1
22
1
1
1
3
4
19
1
23
2
1
2
2
2
3
52
24
1
1
1
1
4
2
6
25
2
1
2
27
1
1
104
26
1
2
1
1
6
1
13
27
4
1
4
18
1
2
5
28
1
4
1
1
1
3
1
29
8
1
8
9
1
6
3
30
1
4
1
3
2
1
1
31
4
3
4
1
1
2
1
32
1
5
1
1
8
1
9
33
2
1
2
2
10
4
3
34
1
23
1
26
6
1
5
35
2
1
2
1
1
-
1
36
1
3
1
11
2
-
12
37
1
19
1
1
2
-
1
38
1
5
1
19
1
-
1
39
3
1
3
131
1
-
8
40
2
6
2
1
4
-
30
41
1
1
1
80
1
-
1
42
16
3
16
2
2
-
1
43
5
3
5
1
1
-
4
44
7
2
7
3
7
-
1
45
3
1
3
1
2
-
1
46
4
5
4
2
2
-
1
47
5
3
5
1
4092
-
1
48
2
9
2
2
3
-
2
49
1
1
1
1
1
-
6
50
1
2
1
5
18
-
2
51
21
2
21
5
1
-
57
52
1
1
1
1
1
-
2
53
12
7
12
1
1
-
26
54
1
4
1
1
1
-
1
55
1
1
1
2
5
-
2
56
3
1
3
1
1
-
1
57
1
3
1
8
3
-
31
58
66
1
66
2
2
-
9
Os cálculos dos números correctos estão no texto anterior, naquele botão com uma raiz de 1141.
Portanto:
LibreOffice Calc: correcto até $a_{14}$
Wolfram Mathematica: todos correctos
TI 84 Plus CE: correcto até $a_{13}$
Casio fx-9860 GII SD: correcto até $a_{13}$
Numworks: correcto até $a_{14}$, e erro de memória a partir de $a_{35}$
ZX Spectrum: correcto até $a_{9}$
O leitor interessado, pode testar outras máquinas ou outras linguagens de programação.
Á excepção do Zx Spectrum (máquina de 1982) e do Wolfram Mathematica, não escrevi código algum. Apenas utilizei as funções internas de cada uma das máquinas/softwares.
Como eu disse no texto anterior, há formas de ultrapassar isto, e fazer todas estas máquinas dar resultados correctos. Isso consegue-se, estudando matematicamente as sucessões $(a_n)$ e $(\alpha_n)$.
A notação $$a_0+\frc{1}{a_1+\frc{1}{a_2+\frc{1}{a_3+\frc{1}{a_4+\frc{1}{a_5+\cdots}}}}}$$para fracções contínuas simples, introduzida no texto anterior, é intuitiva mas não tem muita piada para quem, como eu, escreve num editor de texto ou num smartphone. Já agora, a designação 'simples' vem daqueles numeradores com valor 1.
Se a expansão for infinita e tiver repetições, vou escrever $[a_0; a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\cdots \overline {a_k\cdots a_n} ]$,aquela barra, indica que $\overline {a_k\cdots a_n}$ repete-se. Como vimos nos textos anteriores:
\[\sqrt{2}=[1;\overline{2}]\]
\[\phi=[1;\overline{1}]\]
E abaixo, veremos que
\[\sqrt{1141}=[33;\overline{1,3,1,1,1,12,1,21,1,1,2,5,4,3,7,5,16,1,2,3,1,1,1,2,1,2,1,4,1,8,1,4,1,2,1,2,1,1,1,3,2,1,16,5,7,3,4,5,2,1,1,21,1,12,1,1,3,1,66}]\]
A primeira vez que me cruzei com estes objectos, foi num livro requisitado numa biblioteca itinerante Calouste Gulbenkian. A segunda... foi cinco anos depois, durante a licenciatura em Matemática, na cadeira de Teoria dos Números. A terceira, num livro que eu utilizei numa cadeira de Sistemas Dinâmicos, em mestrado.
Em cada uma das vezes apareceram com um objectivo, não são meras curiosidades, nem extravagâncias matemáticas. Aqui neste blog, aparecem porque também tenciono dar-lhes alguns usos.
A definição de fracção contínua sugere um algoritmo para dado um número real positivo arbitrário, expandi-lo em fracção contínua.
Seja $\alpha_0$ o número a expandir.
Passo 0: k=0
Passo 1: $a_0=\left\lfloor \alpha_0\right\rfloor$
Passo 2: se $\alpha_k\neq a_k$ então $\alpha_{k+1}=\frc{1}{\alpha_k-a_k}$, caso contrário, o algoritmo termina
E quando é que acaba?
No caso de números irracionais, não acaba! Por isso, convém estudar propriedades destas sucessões $(a_n)$.
Implementar este algoritmo assim num computador ou numa calculadora sem cálculo algébrico é má ideia. Hoje em dia, implementa-se bem no Wolfram Mathematica, por exemplo. Os erros de arredondamentos fazem com que ao fim de poucos passos, os $a_k$ saiam mal. Em 1997, notei isso ao expandir números da forma $\sqrt{d}$, (para resolução de equações diofantinas de Pell). Então estudei as sucessões $\left(a_k\right), \left(\alpha_k\right)$ e outras auxiliares, num papel que embrulhava uma tablete de chocolate, por forma a livrar-me dos "erros de arredondamento", e implementei a minha versão do algoritmo para esse caso. A ideia era poupar-me trabalho, mas, no dia seguinte, foi-me útil para obter, numa aula, a expansão de um número 'parecido' com $\sqrt{1141}$.
Muito pouca gente na altura percebeu que o verdadeiro esforço... foi matemático - O poder da ignorância, mesmo entre professores catedráticos, nunca vai deixar de me surpreender.
Aquela expansão de $\sqrt{1141}$ deu nas vistas. Vou deixar aqui um botão só para quem estiver interessado no porquê.
$$\sqrt{1141}=[33;\overline{1,3,1,1,1,12,1,21,1,1,2,5,4,3,7,5,16,1,2,3,1,1,1,2,1,2,1,4,1,8,1,4,1,2,1,2,1,1,1,3,2,1,16,5,7,3,4,5,2,1,1,21,1,12,1,1,3,1,66}]$$
O papel de chocolate com as minhas deduções das expressões implementadas ainda está dentro de um dos meus cadernos... Na altura, depois de ter explicado o meu raciocínio e como passei por cima dos problemas com arredondamentos, o professor pegou na minha calculadora e copiou a expressão anterior para o quadro.
Á sucessão de termo geral $c_n=[a_0;a1,\cdots,a_n]$ chamarei sucessão dos "convergentes".
Como o nome sugere, esta sucessão converge para o número que se expandiu em fracção contínua.
Por hoje é tudo, volto ao assunto no próximo post. Deixo aqui um screenshot de uma das minhas redes sociais. Atenção, o meu programa de 1997 ainda corre muito bem. O de 2025, da foto, é uma versão diferente, que foi usada para gerar a sucessão que também está na foto. Consegue identificar, só pelos primeiros termos? É claro que existe uma infinidade de sucessões com estes oito primeiros termos. Só que eu estava a pensar numa muito particular...
PS: quanto às expressões que deduzi... não as vou partilhar aqui no blog, mas deixo como exercício, para o leitor interessado. Posso eventualmente partilhar num pdf/livro que tenciono escrever e publicar a partir deste blog.
No próximo post, partilho uma foto de uma calculadora de outra marca, não vão os leitores achar que estou a ser patrocinado.
