Recentemente recebi uma dúvida que se respondia com
\[\left(fgh\right)'=f'gh+fg'h+fgh'\]
A fórmula está no formulário de derivação que deixei no blog Z0nα Exact4, e até se deduz rapidamente, mesmo mentalmente.
Sabendo que $(fg)'=f'g+fg'$ então
\begin{eqnarray*} {(fgh)'}&{=}&{(f(gh))'}\\ {}&{=}&{f'(gh)+f(gh)'}\\ {}&{=}&{f'gh+f(g'h+gh')}\\ {}&{=}&{f'gh+fg'h+fgh'} \end{eqnarray*}$\blacksquare$
Uma forma de memorizar é lembrar-se "deriva-se uma de cada vez".
Mas a regra é válida para $n$ funções deriváveis, num corpo ($\R$ ou $\C$), com $n\in \N_1$
\[
\left( {f_1 f_2 ...f_n } \right)^\prime = f_1 ^\prime f_2 ...f_n + f_1 f_2 ^\prime ...f_n + \cdots + f_1 f_2 ...f_n ^\prime
\]
Ou, mais precisamente
\[
\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {f_k } } \right)^\prime = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {D^{\delta _{ik} } f_k } } \right)}
\]
onde $\delta$ é o delta de Kronecker
\[
\delta _{ij} = \left\{ {\begin{array}{c}
{1,\text{se }i = j} \\
{0,\text{se }i \neq j}
\end{array}} \right.
\]
e
\[
D^\alpha f = \left\{ {\begin{array}{c}
{f,\text{se }\alpha = 0} \\
{\frc{{d^\alpha f}}{{dx^\alpha }},\text{se }\alpha \neq 0} \\
\end{array}} \right.
\]
A fórmula da derivada do produto generalizado prova-se recorrendo a indução matemática, deixo como exercício para o leitor interessado. Pode ser usada para provar a conhecida fórmula: \[ \left( {x^n } \right)^\prime = nx^{n - 1} \] Prova: \[ \left( {x^n } \right)^\prime = \left( {\prod\limits_{k = 1}^n x } \right)^\prime = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {D^{\delta _{ik} } x} } \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} x } \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {x^{n - 1} } = nx^{n - 1} \]
$\blacksquare$
e pela regra de derivação da função composta: \[ \left( {f^n } \right)^\prime = nf^{n - 1} f' \] onde $f$ é função escalar,derivável, definida no tal corpo.
