A notação $$a_0+\frc{1}{a_1+\frc{1}{a_2+\frc{1}{a_3+\frc{1}{a_4+\frc{1}{a_5+\cdots}}}}}$$para fracções contínuas simples, introduzida no texto anterior, é intuitiva mas não tem muita piada para quem, como eu, escreve num editor de texto ou num smartphone.
Já agora, a designação 'simples' vem daqueles numeradores com valor 1.
Vou utilizar outra notação para estas fracções:
$$a_0+\frc{1}{a_1+\frc{1}{a_2+\frc{1}{a_3+\frc{1}{a_4+\frc{1}{a_5+\cdots}}}}} = [a_0; a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\cdots]$$
Por exemplo, $$[3;7]=3+\frc{1}{7}=\frc{22}{7}$$
Se a expansão for infinita e tiver repetições, vou escrever $[a_0; a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\cdots \overline {a_k\cdots a_n} ]$,aquela barra, indica que $\overline {a_k\cdots a_n}$ repete-se. Como vimos nos textos anteriores: \[\sqrt{2}=[1;\overline{2}]\] \[\phi=[1;\overline{1}]\] E abaixo, veremos que \[\sqrt{1141}=[33;\overline{1,3,1,1,1,12,1,21,1,1,2,5,4,3,7,5,16,1,2,3,1,1,1,2,1,2,1,4,1,8,1,4,1,2,1,2,1,1,1,3,2,1,16,5,7,3,4,5,2,1,1,21,1,12,1,1,3,1,66}]\]A primeira vez que me cruzei com estes objectos, foi num livro requisitado numa biblioteca itinerante Calouste Gulbenkian.
A segunda... foi cinco anos depois, durante a licenciatura em Matemática, na cadeira de Teoria dos Números.
A terceira, num livro que eu utilizei numa cadeira de Sistemas Dinâmicos, em mestrado.
Em cada uma das vezes apareceram com um objectivo, não são meras curiosidades, nem extravagâncias matemáticas. Aqui neste blog, aparecem porque também tenciono dar-lhes alguns usos.
A definição de fracção contínua sugere um algoritmo para dado um número real positivo arbitrário, expandi-lo em fracção contínua.
Seja $\alpha_0$ o número a expandir.
Passo 0: k=0
Passo 1: $a_0=\left\lfloor \alpha_0\right\rfloor$
Passo 2: se $\alpha_k\neq a_k$ então $\alpha_{k+1}=\frc{1}{\alpha_k-a_k}$, caso contrário, o algoritmo termina
Passo 3: $a_{k+1}=\left\lfloor \alpha_{k+1}\right\rfloor$
Passo 4: $k+1\to k$
Repetem-se os passos 2,3,4 até acabar.E quando é que acaba?
No caso de números irracionais, não acaba! Por isso, convém estudar propriedades destas sucessões $(a_n)$.
Implementar este algoritmo assim num computador ou numa calculadora sem cálculo algébrico é má ideia.
Hoje em dia, implementa-se bem no Wolfram Mathematica, por exemplo.
Os erros de arredondamentos fazem com que ao fim de poucos passos, os $a_k$ saiam mal.
Em 1997, notei isso ao expandir números da forma $\sqrt{d}$, (para resolução de equações diofantinas de Pell).
Então estudei as sucessões $\left(a_k\right), \left(\alpha_k\right)$ e outras auxiliares, num papel que embrulhava uma tablete de chocolate, por forma a livrar-me dos "erros de arredondamento", e implementei a minha versão do algoritmo para esse caso.
A ideia era poupar-me trabalho, mas, no dia seguinte, foi-me útil para obter, numa aula, a expansão de um número 'parecido' com $\sqrt{1141}$.
Muito pouca gente na altura percebeu que o verdadeiro esforço... foi matemático - O poder da ignorância, mesmo entre professores catedráticos, nunca vai deixar de me surpreender.
Aquela expansão de $\sqrt{1141}$ deu nas vistas.
Vou deixar aqui um botão só para quem estiver interessado no porquê.
\begin{eqnarray*}
{\alpha_{0}}&{=}&{\sqrt{ 1141}}\\
{a_{0}}&{=}&{\chao{\alpha_{0}}=33 }\\
{\alpha_{1}}&{=}&{\frc{ 33 +\sqrt{ 1141}}{ 52}}\\
{a_{1}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{2}}&{=}&{\frc{ 19 +\sqrt{ 1141}}{ 15}}\\
{a_{2}}&{=}&{ 3 }\\
{\alpha_{3}}&{=}&{\frc{ 26 +\sqrt{ 1141}}{ 31}}\\
{a_{3}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{4}}&{=}&{\frc{ 5 +\sqrt{ 1141}}{ 36}}\\
{a_{4}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{5}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 5}}\\
{a_{5}}&{=}&{ 12 }\\
{\alpha_{6}}&{=}&{\frc{ 29 +\sqrt{ 1141}}{ 60}}\\
{a_{6}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{7}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 3}}\\
{a_{7}}&{=}&{ 21 }\\
{\alpha_{8}}&{=}&{\frc{ 32 +\sqrt{ 1141}}{ 39}}\\
{a_{8}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{9}}&{=}&{\frc{ 7 +\sqrt{ 1141}}{ 28}}\\
{a_{9}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{10}}&{=}&{\frc{ 21 +\sqrt{ 1141}}{ 25}}\\
{a_{10}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{11}}&{=}&{\frc{ 29 +\sqrt{ 1141}}{ 12}}\\
{a_{11}}&{=}&{ 5 }\\
{\alpha_{12}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 15}}\\
{a_{12}}&{=}&{ 4 }\\
{\alpha_{13}}&{=}&{\frc{ 29 +\sqrt{ 1141}}{ 20}}\\
{a_{13}}&{=}&{ 3 }\\
{\alpha_{14}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 9}}\\
{a_{14}}&{=}&{ 7 }\\
{\alpha_{15}}&{=}&{\frc{ 32 +\sqrt{ 1141}}{ 13}}\\
{a_{15}}&{=}&{ 5 }\\
{\alpha_{16}}&{=}&{\frc{ 33 +\sqrt{ 1141}}{ 4}}\\
{a_{16}}&{=}&{ 16 }\\
{\alpha_{17}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 45}}\\
{a_{17}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{18}}&{=}&{\frc{ 14 +\sqrt{ 1141}}{ 21}}\\
{a_{18}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{19}}&{=}&{\frc{ 28 +\sqrt{ 1141}}{ 17}}\\
{a_{19}}&{=}&{ 3 }\\
{\alpha_{20}}&{=}&{\frc{ 23 +\sqrt{ 1141}}{ 36}}\\
{a_{20}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{21}}&{=}&{\frc{ 13 +\sqrt{ 1141}}{ 27}}\\
{a_{21}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{22}}&{=}&{\frc{ 14 +\sqrt{ 1141}}{ 35}}\\
{a_{22}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{23}}&{=}&{\frc{ 21 +\sqrt{ 1141}}{ 20}}\\
{a_{23}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{24}}&{=}&{\frc{ 19 +\sqrt{ 1141}}{ 39}}\\
{a_{24}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{25}}&{=}&{\frc{ 20 +\sqrt{ 1141}}{ 19}}\\
{a_{25}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{26}}&{=}&{\frc{ 18 +\sqrt{ 1141}}{ 43}}\\
{a_{26}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{27}}&{=}&{\frc{ 25 +\sqrt{ 1141}}{ 12}}\\
{a_{27}}&{=}&{ 4 }\\
{\alpha_{28}}&{=}&{\frc{ 23 +\sqrt{ 1141}}{ 51}}\\
{a_{28}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{29}}&{=}&{\frc{ 28 +\sqrt{ 1141}}{ 7}}\\
{a_{29}}&{=}&{ 8 }\\
{\alpha_{30}}&{=}&{\frc{ 28 +\sqrt{ 1141}}{ 51}}\\
{a_{30}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{31}}&{=}&{\frc{ 23 +\sqrt{ 1141}}{ 12}}\\
{a_{31}}&{=}&{ 4 }\\
{\alpha_{32}}&{=}&{\frc{ 25 +\sqrt{ 1141}}{ 43}}\\
{a_{32}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{33}}&{=}&{\frc{ 18 +\sqrt{ 1141}}{ 19}}\\
{a_{33}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{34}}&{=}&{\frc{ 20 +\sqrt{ 1141}}{ 39}}\\
{a_{34}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{35}}&{=}&{\frc{ 19 +\sqrt{ 1141}}{ 20}}\\
{a_{35}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{36}}&{=}&{\frc{ 21 +\sqrt{ 1141}}{ 35}}\\
{a_{36}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{37}}&{=}&{\frc{ 14 +\sqrt{ 1141}}{ 27}}\\
{a_{37}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{38}}&{=}&{\frc{ 13 +\sqrt{ 1141}}{ 36}}\\
{a_{38}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{39}}&{=}&{\frc{ 23 +\sqrt{ 1141}}{ 17}}\\
{a_{39}}&{=}&{ 3 }\\
{\alpha_{40}}&{=}&{\frc{ 28 +\sqrt{ 1141}}{ 21}}\\
{a_{40}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{41}}&{=}&{\frc{ 14 +\sqrt{ 1141}}{ 45}}\\
{a_{41}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{42}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 4}}\\
{a_{42}}&{=}&{ 16 }\\
{\alpha_{43}}&{=}&{\frc{ 33 +\sqrt{ 1141}}{ 13}}\\
{a_{43}}&{=}&{ 5 }\\
{\alpha_{44}}&{=}&{\frc{ 32 +\sqrt{ 1141}}{ 9}}\\
{a_{44}}&{=}&{ 7 }\\
{\alpha_{45}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 20}}\\
{a_{45}}&{=}&{ 3 }\\
{\alpha_{46}}&{=}&{\frc{ 29 +\sqrt{ 1141}}{ 15}}\\
{a_{46}}&{=}&{ 4 }\\
{\alpha_{47}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 12}}\\
{a_{47}}&{=}&{ 5 }\\
{\alpha_{48}}&{=}&{\frc{ 29 +\sqrt{ 1141}}{ 25}}\\
{a_{48}}&{=}&{ 2 }\\
{\alpha_{49}}&{=}&{\frc{ 21 +\sqrt{ 1141}}{ 28}}\\
{a_{49}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{50}}&{=}&{\frc{ 7 +\sqrt{ 1141}}{ 39}}\\
{a_{50}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{51}}&{=}&{\frc{ 32 +\sqrt{ 1141}}{ 3}}\\
{a_{51}}&{=}&{ 21 }\\
{\alpha_{52}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 60}}\\
{a_{52}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{53}}&{=}&{\frc{ 29 +\sqrt{ 1141}}{ 5}}\\
{a_{53}}&{=}&{ 12 }\\
{\alpha_{54}}&{=}&{\frc{ 31 +\sqrt{ 1141}}{ 36}}\\
{a_{54}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{55}}&{=}&{\frc{ 5 +\sqrt{ 1141}}{ 31}}\\
{a_{55}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{56}}&{=}&{\frc{ 26 +\sqrt{ 1141}}{ 15}}\\
{a_{56}}&{=}&{ 3 }\\
{\alpha_{57}}&{=}&{\frc{ 19 +\sqrt{ 1141}}{ 52}}\\
{a_{57}}&{=}&{ 1 }\\
{\alpha_{58}}&{=}&{33 +\sqrt{ 1141}}\\
{a_{58}}&{=}&{ 66 }
\end{eqnarray*}
$$a_{58+k}=a_k; k\in\N_1$$
Agora digam-me: Em finais do século XX, princípio do século XXI algum matemático digno desse título atreve-se a calcular isto à mão?
Portanto $$\sqrt{1141}=[33;\overline{1,3,1,1,1,12,1,21,1,1,2,5,4,3,7,5,16,1,2,3,1,1,1,2,1,2,1,4,1,8,1,4,1,2,1,2,1,1,1,3,2,1,16,5,7,3,4,5,2,1,1,21,1,12,1,1,3,1,66}]$$
$$\sqrt{1141}=[33;\overline{1,3,1,1,1,12,1,21,1,1,2,5,4,3,7,5,16,1,2,3,1,1,1,2,1,2,1,4,1,8,1,4,1,2,1,2,1,1,1,3,2,1,16,5,7,3,4,5,2,1,1,21,1,12,1,1,3,1,66}]$$
O papel de chocolate com as minhas deduções das expressões implementadas ainda está dentro de um dos meus cadernos...Portanto $$\sqrt{1141}=[33;\overline{1,3,1,1,1,12,1,21,1,1,2,5,4,3,7,5,16,1,2,3,1,1,1,2,1,2,1,4,1,8,1,4,1,2,1,2,1,1,1,3,2,1,16,5,7,3,4,5,2,1,1,21,1,12,1,1,3,1,66}]$$
Na altura, depois de ter explicado o meu raciocínio e como passei por cima dos problemas com arredondamentos, o professor pegou na minha calculadora e copiou a expressão anterior para o quadro.
Á sucessão de termo geral $c_n=[a_0;a1,\cdots,a_n]$ chamarei sucessão dos "convergentes".
Por hoje é tudo, volto ao assunto no próximo post. Deixo aqui um screenshot de uma das minhas redes sociais.
Atenção, o meu programa de 1997 ainda corre muito bem.
O de 2025, da foto, é uma versão diferente, que foi usada para gerar a sucessão que também está na foto. Consegue identificar, só pelos primeiros termos? É claro que existe uma infinidade de sucessões com estes oito primeiros termos. Só que eu estava a pensar numa muito particular...
Atenção, o meu programa de 1997 ainda corre muito bem.
O de 2025, da foto, é uma versão diferente, que foi usada para gerar a sucessão que também está na foto. Consegue identificar, só pelos primeiros termos? É claro que existe uma infinidade de sucessões com estes oito primeiros termos. Só que eu estava a pensar numa muito particular...
PS: quanto às expressões que deduzi... não as vou partilhar aqui no blog, mas deixo como exercício, para o leitor interessado. Posso eventualmente partilhar num pdf/livro que tenciono escrever e publicar a partir deste blog.
No próximo post, partilho uma foto de uma calculadora de outra marca, não vão os leitores achar que estou a ser patrocinado.
