Em Outubro de 1998, no último ano da minha licenciatura pré-Bolonha em Matemática, numa cadeira de'operadores integrais' o professor
Litvinchuk perguntou-nos durante uma aula se tínhamos aprendido "cálculo de variações".
O nome não me dizia nada.
Tendo em conta que sou matemaníaco, era suposto lembrar-me ao menos do nome, mas não.
O nome não me dizia nada, e eu lembrava-me de todos os temas abordados até ali...
Sendo o professor de origem soviética julguei poder ser um problema de tradução..
Perguntei se não tinha outra designação. Ele olhou para mim meio chateado, e respondeu que não.
Que o título era mesmo aquele. Ficou com a ideia que eu era ignorante.
Tomei nota da designação...
Confirmei que não, que não tinha dado em lado nenhum, e na altura, na biblioteca, confirmei que não tinha estudado o assunto, e infelizmente, também não tinha tempo para estudar aquilo na altura.
Em 2007, na fcul, voltei a ouvir um "como você sabe de Cálculo das variações".
O nome não me era estranho. Lembrei-me da aula com o professor Litvinchuk em que tinha feito a pergunta sobre o assunto. Continuava a não ter tempo, mas ali era crítico.
Pesquisei as cadeiras da fcul e encontrei a cadeira de licenciatura deles que continha o assunto.
Comparando com a minha licenciatura, percebi onde devia ter aprendido aquilo, e mais, fiquei com a impressão que o professor Litvinchuck tinha razão, que era mesmo suposto eu ter aprendido aquilo,
numa cadeira em que quem leccionava era novo, tinha substituído o docente anterior e alterou programa "a seu gosto", tendo me deixado com lacunas que naquele momento faziam falta!
Na versão anterior desse programa também constava outro assunto que não estudei, mas os alunos do ano anterior estudaram: Equações com derivadas parciais (eu confirmei a minha suspeita recentemente).
Estudar aquela versão daquela cadeira de licenciatura na fcul tornou-se importante. Eu precisava daquelas bases!
Infelizmente não consegui fazê-lo a tempo.
A (desadequada e desnecessária) sobrecarga de trabalhos não me permitia - mas isso não é assunto para aqui.
Eventualmente um dia mais tarde acabei por fazê-lo. Fui autodidacta...
Hoje vou exemplificar um exercício clássico de cálculo das variações, um dos primeiros que resolvi, sem rigor excessivo.
No plano euclidiano $\R^2$, qual é o caminho mais curto entre os pontos de coordenadas $(a,y_a)$ e $(b,y_b)$?
Vamos supor que $a\neq b$.
Sempre me disseram que era a o segmento de recta que unia os pontos, só que a verdade é que nunca tinha visto uma prova.
Parecia ser óbvio...
Se esse caminho for o gráfico de uma função $y$, dependente da variável real $x$, o comprimento é
$$\int_{a}^{b} \sqrt{1+y'(x)^2} dx$$
Portanto, quero saber qual é a função $y$ (diferenciável em $[a,b]$) que minimiza este integral.
Simbólicamente:
$$\cdot \min \int_{a}^{b} \sqrt{1+y'(x)^2} \, dx \qquad , \quad a \neq b$$
$$\text{em } \mathcal{A} = \left\{ y \in C^1([a, b]) : y(a) = y_a \; ; \; y(b) = y_b \right\}$$
Chamarei a $\mathcal{A}$ o conjunto das soluções admissíveis.
Esta é a minha primeira proposta de resolução:
Considera-se
$$f(x, y, y') = \sqrt{1+y'(x)^2}$$
De acordo com a teoria, a solução deste problema satisfaz a
$$\boxed{
\begin{aligned}
\text{Eq. Euler-Lagrange:} \\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y(x), y'(x)) - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'}(x, y(x), y'(x)) \right) = 0
\end{aligned}
}$$
(Para saber porquê, ou seja, a prova desta afirmação, sugiro que o leitor mais curioso investigue esta equação)
Vou abreviar a escrita, usando $y'$ em vez de $y'(x)$ e $y$ em vez de $y(x)$.
Ora
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 $$
E
$$\frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{\partial}{\partial y'} \left[ \left( 1 + (y')^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right] =$$
$$= \frac{1}{2} \left( 1 + (y')^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2y' =$$
$$= \frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$$
$$\Rightarrow \text{Pela equação de Euler-Lagrange}$$
$$- \frac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right) = 0$$
$$\Rightarrow \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} = \text{constante}$$
Vou designar a constante (real) por $C$
$$\Rightarrow \frac{(y')^2}{1+(y')^2} = C$$
$$\Leftrightarrow (y')^2 = C \left( 1 + (y')^2 \right)$$
$$\Leftrightarrow 0=C + (C - 1)(y')^2 $$
$$\Leftrightarrow (y')^2 = \frac{C}{1 - C} $$
$$\Rightarrow y' = C_1 \qquad ; \quad C_1 \in \mathbb{R}$$
$$\Rightarrow y = C_1 x + C_2 \qquad ; \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$
$\text{como } y(a) = y_a \quad \text{e} \quad y(b) = y_b$ temos como calcular $C_1$ e $C_2$
$$\left\{ \begin{aligned} y_a &= C_1 a + C_2 \\ y_b &= C_1 b + C_2 \end{aligned} \right.$$
pela regra de Cramer
$${\Rightarrow} \quad C_1 = \frac{\begin{vmatrix} y_a & 1 \\ y_b & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 1 \\ b & 1 \end{vmatrix}} = \frac{y_a - y_b}{a - b} = \frac{y_b - y_a}{b - a} \qquad \text{(declive)}$$
$$C_2 = \frac{\begin{vmatrix} a & y_a \\ b & y_b \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 1 \\ b & 1 \end{vmatrix}} = \frac{a y_b - b y_a}{a - b} = \frac{y_a b - y_b a}{b - a} \qquad \begin{aligned} &\text{(ordenada} \\ &\text{na origem)} \end{aligned}$$
$$\boxed{
\begin{aligned}
&\therefore y(x) = \frac{y_b - y_a}{b - a} x + \frac{y_a b - y_b a}{b - a}, \text{com } a\leq x \leq b
\end{aligned}
}$$
Ou seja, o caminho mais curto é o segmento de recta que une os pontos $(a, y_a)$ e $(b, y_b)$
Estas notas foram escritas ontem numa folha de papel, num café, fotografadas com o meu smartphone e convertidas para $\LaTeX$ pelo google Gemini
