O virgulatório

 

Isto é um meme que já me apareceu muitas vezes nos últimos 10 anos. Desde mensagens de ex-colegas e ex-alunos a partilhas em redes sociais.

Só que recentemente, deu-me mesmo jeito usá-lo.

Baptizei-o de 'virgulatório'.

Pode ser que venha a ser usado mesmo neste blog...

Em vez de escrever 

\[ x=\left(x_1,\cdots,x_n\right) \] Escrevo \[ x = \left( \overset{n}{\underset{i=1}{\Huge ,}} x_i \right) \] Vou ter é de ajustar o $\Large\LaTeX$ para ficar mais bem centrado verticalmente.

A fórmula do 'haversine'

Vamos lá deduzir a fórmula da imagem:

Consideremos um triângulo esférico, sobre uma esfera com três vértices:

• Polo Norte $N$
• Vértice $A$: Latitude $\phi _{1}$, Longitude $\lambda _{1}$
• Vértice $B$: Latitude $\phi _{2}$, Longitude $\lambda _{2}$

As amplitudes dos três lados deste triângulo são:

• Lado $a$ (oposto a $A$):$90^\circ - \phi_2$
• Lado $b$ (oposto a $B$):$90^\circ - \phi_1$
• Lado $c$ (oposto ao Polo, entre o Ponto 1 e o Ponto 2): $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$.

Aplicando a Lei dos Cossenos para triângulos esféricos do post anterior ao lado $c$: $$\cos c=\cos a\cos b+\cos A \sen a\sen b$$ $$\Leftrightarrow \cos c=\sen \phi_2\sen\phi_1+\cos (\Delta\lambda)\cos\phi_2\cos\phi_1$$ O comprimento $d$ do arco de amplitude $c$ é $\color{green}d=r\times c$ onde $r$ é o raio daquela esfera. Só que a nossa fórmula ainda não se parece sequer com a da imagem.
Recorrendo à formula $\cos 2\theta= 1-2{\sen}^2\theta$ podemos escrever \[\cos c=1-2{\sen}^2\left(\frc{c}{2}\right)\] \[\cos \left(\Delta\lambda\right)=1-2{\sen}^2\left(\frc{\Delta\lambda}{2}\right)\] e substituir na fórmula que resultou da aplicação da fórmula dos cossenos. $$1-2{\sen} ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\sen \phi _{1}\sen \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\left[1-2{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)\right]$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}\sen \phi _{1}\sen \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}\cos \left(\phi _{2}- \phi _{1}\right)}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}1-2{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow {\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)={\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow c=2\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$ $$\Leftrightarrow \mathbin{\color{green}\frac{d}{r}}=2\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$ $$\Leftrightarrow d=2r\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$

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haversine é a função \[\text{hav } \theta={\sen} ^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\] Que permite reescrever a fórmula com outro aspecto: $$\text{hav }\left(\mathbin{\color{green}\frac{d}{r}}\right)=\text{hav }\left(\Delta\phi\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\text{hav }\left(\Delta \lambda \right)$$

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Bibliografia Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (Eds.). (1964). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. National Bureau of Standards. pg 78

Triângulos esféricos.

 Recentemente, apareceu-me numa rede social, a fórmula, para a distancia (mais curta) entre dois pontos numa superfície esférica conhecendo as latitudes $\phi$; e as longitudes $\lambda$

Ocorreram-me algumas formas de justificar aquela fórmula.
A mais simples deve ser com triângulos esféricos.

Sobre uma superfície esférica, desenha-se um triângulo $[ABC]$ onde os lados $A$, $B$ e $C$ são arcos de circunferência cujo raio coincide com o da superfície esférica. Por tradição, utilizarei a mesma notação para o vértice $A$ e o ângulo entre os arcos $\arc{AB}$ e $\arc{AC}$. E para simplificar, de forma análoga ao que se faz com triângulos euclidianos, designarei por $a$ a medida(amplitude) do arco oposto a $A$, por $b$ a medida do arco oposto a $B$ e por $c$ a medida do arco oposto a $C$.
O desenho de fundo amarelo foi elaborado hoje de manhã enquanto eu estava no café... (Snack-Bar Pinoco, na Camacha, Madeira).
Assim como a dedução das fórmulas que apresento ao lado.
As deduções nunca me foram mostradas, mas sou capaz de as fazer. As que vou apresentar são um mero exercício de geometria analítica no espaço.
Hoje em dia as fórmulas podem-se consultar online. O que tira um pouco a piada.
Por isso nos meus textos gosto de apresentar algumas justificações (não todas...) e não de pregar a Matemática como uma religião.
Uma vez que vou recorrer a geometria analítica, para perceber o que ando a fazer, é necessário conhecer as fórmulas e propriedades dos produtos escalar usual, produto externo, e já agora o básico de trigonometria. Vou ainda impor que todos os angulos considerados estejam em $]0, 180^0[$

Nestes triângulos são válidas as fórmulas: Lei dos cossenos: $\cos a=\cos b \cos c + \cos A \sen b \sen c$ $\cos b=\cos a \cos c + \cos B \sen a \sen c$ $\cos c=\cos a \cos b + \cos C \sen a \sen b$ Lei dos senos (Versão 1): \[\frc{\sen a}{\sen A}=\frc{\sen b}{\sen B}=\frc{\sen c}{\sen C}\]

Lei dos senos (Versão 2): $$\sen A \sen b \sen c = \sen a \sen B \sen c = \sen a \sen b \sen C $$

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Uma dedução da lei dos cossenos, via geometria analítica.
Cosidere-se um referencial ortonormado $Oxyz$
Sem qualquer perda de generalidade, consideremos a esfera de raio 1 centrada na origem.
Vamos rodar a esfera por forma que:

• O vector posição $\vec{u}_A$ do ponto $A$ tem coordenadas $(1,0,0)$
• O vector posição $\vec{u}_B$ do ponto $B$ tem coordenadas $(\cos c,\sen c,0)$
• O vector posição $\vec{u}_C$ do ponto $C$ tem coordenadas $(x_C,y_C,z_C)$

Sendo os pontos $A,B$ e $C$, pontos da superfície esférica, os vectores posição têm todos norma euclidiana $1$.
É-me útil conhecer pelo menos a expressões para $x_C$ e $y_C$
As propriendades do produto escalar permitem-me escrever $$\vec{u}_A\cdot\vec{u}_C=x_C$$ e $$\vec{u}_A\cdot\vec{u}_C=\cos b$$ portanto, $$x_C=\cos b$$
O ângulo interno no vértice $A$ é o ângulo entre os planos $OAB$ e $OAC$. Só que este ângulo é também o ângulo entre vectores ortogonais* aos respectivos planos!

Um vector normal a $OAB$ é $(0,0,1)$
Um vector normal a $OAC$ é $\vec{OA}\times\vec{OC}=(0,-z_C,y_C)$ e a norma deste vector é $\sen b$. Então, uma vez mais, graças às propriedades do produto escalar: \[(0,0,1)\cdot(0,-z_C,y_c)=1\times\sen b\times \cos A\] ou seja $$y_C=\sen b\cos B$$ Como a amplitude do ângulo entre os vectores $\vec{u}_B$ e $\vec{u}_C$ é $a$, então :
$$\cos a=\vec{u}_C\cdot\vec{u}_B=\cos b \cos c + \sen c\sen b \cos A $$ Ou seja:$$\cos a=\cos b \cos c + \cos A \sen b \sen c$$ As outras duas fórmulas obtêm-se de forma análoga, fazendo cada um dos outros arcos estar no plano $xoy$.

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As fórmulas dos senos (das duas versões) obtêm-se tendo em conta que o volume do paralelipípedo de arestas $\vec{u}_A,\vec{u}_B$, e $\vec{u}_C$ é $$V=|\vec{u}_A\cdot(\vec{u}_B\times\vec{u}_C)|=|\vec{u}_B\cdot(\vec{u}_C\times\vec{u}_A)|=|\vec{u}_C\cdot(\vec{u}_A\times\vec{u}_B)|$$

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Agora, tendo estas fórmulas será capaz de deduzir a fórmula inícial deste texto?
Continua no próximo texto...

Figura:Um triângulo esférico desenhado no Geogebra

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*Há algum cuidado a ter com estes vectores... deixo esse detalhe ao cuidado do leitor mais curioso.

cis está cientificamente incorrecto?

Este deve ser o texto mais picuinhas deste blog, peço desculpa ao leitor por isso.
 
Recentemente, num grupo no facebook, alguém perguntou se a "notação $\cis(\theta)$" é permitida em exame nacional.
A notação caiu em desuso desde que em 2017/2018 entrou em vigor o programa das metas curriculares para Matemática A, 12º, e nenhuma das versões seguintes voltou a utilizá-la.

No entanto, alguém comentou que a notação está "cientificamente incorrecta" por ser uma abreviatura.

De $\cis (\theta)$ = cos ( $\theta$ ) + i sin( $\theta$ )  )
Perdão?

Esse é o argumento mais facilmente refutável que me apareceu, pois com ele morriam, por exemplo as notações

• $\lim$ que é abreviatura de limite
• $\log$ que é abreviatura de logaritmo
  
• $\ln$ que é abreviatura de logaritmo natural
  
• $\sin$ que é abreviatura de sinus
  
• $\cos$ que é abreviatura de cosinus

Nem vou falar de $\exp$.

Dizer que $\cis$ está errado por ser abreviatura é o mesmo que dizer que não se pode escrever $\tan(x)$ e que se exige sempre a escrita por extenso de 'tangente'.

"Científicamente errada" não está!

Que a versão recorrendo à exponencial complexa seja preferível em muitos contextos, compreendo, e até concordo com ela nesses contextos.
Para evitar chatices em avaliações, todos os alunos devem utilizar as notações dos seus professores.
Não estou aqui para discutir picuinhices.
Fora desse contexto, desde que se definam as funções  correctamente, podem até criar e usar a notação que vos apetecer, desde que tenham informado adequadamente todo o público alvo.

Agora vamos lá definir rigorosamente a função $\cis$ de $\R$ em $\C$:

$$ \begin{aligned} \text{cis} \colon \R &\to \C \\ \theta &\mapsto \cos(\theta) + i\sin(\theta) \end{aligned} $$

Pode, e deve, confirmar que a função está bem definida.

A notação $\cis$ foi popularizada por matemáticos, nomeadamente por William Rowan Hamilton (o criador dos Quaterniões) no século XIX.

Eu uso-a quando não quero usar a versão exponencial ( por exemplo, se a exponencial complexa ainda não foi definida ), mas citar-me a mim como justificação é má política académica.

Por exemplo a notação $\cis$ é usada em, 

Transition to Higher Mathematics: Structure and Proof - 2ª edição (2015) — Bob A. Dumas & John E. McCarthy

• Define explicitamente Cis(θ) (com maiúscula) logo no capítulo de números complexos.
• Usa de forma consistente ao longo da secção (raízes, operações polares, etc.).
• PDF aberto e gratuito (pode descarregar: qualquer pessoa pode verificar) em https://www.math.wustl.edu/~mccarthy/SandP2.pdf

Outro exemplo, em francês:

•  "Nombres Complexes" (PDF, Bélgica/CESSTEX)
• https://www.cesstex.be/institut-sainte-marie/espace-interactif/mathematique/vandenbruaenne-andre/cours_66/nbres_complexes.pdf

Estou a citar fontes facilmente verificáveis, não quero citar livros que só alguns podem verificar sem gastos extra.

Já que estamos na era das AIs, podem confirmar com elas.

Se é amplamente utilizada? Não.
Se tenciono torná-la a norma? Obviamente não.

A notação exponencial tem muitas vantagens, como por exemplo regras como "a exponencial da soma é o produto das exponenciais" 

E depois de definir a função exponencial complexa, temos uma transição natural.

O que não gosto da notação exponencial, quando não se define antes a função exponencial complexa resume-se a isto:

Não se justifica a um aluno que desconhece séries de potências e equações diferenciais porque se usa justamente o número de Neper (constante de Euler) naquela notação e não outro número real positivo qualquer.
É uma omissão com a qual consigo viver pois desperta a curiosidade de alguns alunos e leva-os a explorar e questionar.

O desuso de $\cis$ não se deve a qualquer erro científico mas sim a preferências educativas, pessoais ou académicas.

Científicas, é que não!

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PS: escrito, por mim, em 2013: https://cpaulof2.blogspot.com/2013/05/de-uma-equacao-diferencial-ate-relacao.html , com base em algo que fiz em 1995.

Primeiro contacto... com cálculo de variações

Em Outubro de 1998, no último ano da minha licenciatura pré-Bolonha em Matemática, numa cadeira de'operadores integrais' o professor Litvinchuk perguntou-nos durante uma aula se tínhamos aprendido "cálculo de variações".
O nome não me dizia nada.
Tendo em conta que sou matemaníaco, era suposto lembrar-me ao menos do nome, mas não.
O nome não me dizia nada, e eu lembrava-me de todos os temas abordados até ali...
Sendo o professor de origem soviética julguei poder ser um problema de tradução..
Perguntei se não tinha outra designação. Ele olhou para mim meio chateado, e respondeu que não.
Que o título era mesmo aquele. Ficou com a ideia que eu era ignorante.
Tomei nota da designação...
Confirmei que não, que não tinha dado em lado nenhum, e na altura, na biblioteca, confirmei que não tinha estudado o assunto, e infelizmente, também não tinha tempo para estudar aquilo na altura.

Em 2007, na fcul, voltei a ouvir um "como você sabe de Cálculo das variações".
O nome não me era estranho. Lembrei-me da aula com o professor Litvinchuk em que tinha feito a pergunta sobre o assunto. Continuava a não ter tempo, mas ali era crítico.
Pesquisei as cadeiras da fcul e encontrei a cadeira de licenciatura deles que continha o assunto.
Comparando com a minha licenciatura, percebi onde devia ter aprendido aquilo, e mais, fiquei com a impressão que o professor Litvinchuck tinha razão, que era mesmo suposto eu ter aprendido aquilo,
numa cadeira em que quem leccionava era novo, tinha substituído o docente anterior e alterou programa "a seu gosto", tendo me deixado com lacunas que naquele momento faziam falta!

Na versão anterior desse programa também constava outro assunto que não estudei, mas os alunos do ano anterior estudaram: Equações com derivadas parciais (eu confirmei a minha suspeita recentemente).

Estudar aquela versão daquela cadeira de licenciatura na fcul tornou-se importante. Eu precisava daquelas bases! Infelizmente não consegui fazê-lo a tempo. A (desadequada e desnecessária) sobrecarga de trabalhos não me permitia - mas isso não é assunto para aqui.

Eventualmente um dia mais tarde acabei por fazê-lo. Fui autodidacta...

Hoje vou exemplificar um exercício clássico de cálculo das variações, um dos primeiros que resolvi, sem rigor excessivo.

No plano euclidiano $\R^2$, qual é o caminho mais curto entre os pontos de coordenadas $(a,y_a)$ e $(b,y_b)$?

Vamos supor que $a\neq b$.
Sempre me disseram que era a o segmento de recta que unia os pontos, só que a verdade é que nunca tinha visto uma prova.
Parecia ser óbvio...
Se esse caminho for o gráfico de uma função $y$, dependente da variável real $x$, o comprimento é $$\int_{a}^{b} \sqrt{1+y'(x)^2} dx$$ Portanto, quero saber qual é a função $y$ (diferenciável em $[a,b]$) que minimiza este integral.
Simbólicamente: $$\cdot \min \int_{a}^{b} \sqrt{1+y'(x)^2} \, dx \qquad , \quad a \neq b$$ $$\text{em } \mathcal{A} = \left\{ y \in C^1([a, b]) : y(a) = y_a \; ; \; y(b) = y_b \right\}$$ Chamarei a $\mathcal{A}$ o conjunto das soluções admissíveis.

Esta é a minha primeira proposta de resolução:
Considera-se $$f(x, y, y') = \sqrt{1+y'(x)^2}$$ De acordo com a teoria, a solução deste problema satisfaz a $$\boxed{ \begin{aligned} \text{Eq. Euler-Lagrange:} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y(x), y'(x)) - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'}(x, y(x), y'(x)) \right) = 0 \end{aligned} }$$ (Para saber porquê, ou seja, a prova desta afirmação, sugiro que o leitor mais curioso investigue esta equação)
Vou abreviar a escrita, usando $y'$ em vez de $y'(x)$ e $y$ em vez de $y(x)$. Ora $$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 $$ E $$\frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{\partial}{\partial y'} \left[ \left( 1 + (y')^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right] =$$ $$= \frac{1}{2} \left( 1 + (y')^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2y' =$$ $$= \frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$$ $$\Rightarrow \text{Pela equação de Euler-Lagrange}$$ $$- \frac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right) = 0$$ $$\Rightarrow \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} = \text{constante}$$ Vou designar a constante (real) por $C$ $$\Rightarrow \frac{(y')^2}{1+(y')^2} = C$$ $$\Leftrightarrow (y')^2 = C \left( 1 + (y')^2 \right)$$ $$\Leftrightarrow 0=C + (C - 1)(y')^2 $$ $$\Leftrightarrow (y')^2 = \frac{C}{1 - C} $$ $$\Rightarrow y' = C_1 \qquad ; \quad C_1 \in \mathbb{R}$$ $$\Rightarrow y = C_1 x + C_2 \qquad ; \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ $\text{como } y(a) = y_a \quad \text{e} \quad y(b) = y_b$ temos como calcular $C_1$ e $C_2$ $$\left\{ \begin{aligned} y_a &= C_1 a + C_2 \\ y_b &= C_1 b + C_2 \end{aligned} \right.$$ pela regra de Cramer $${\Rightarrow} \quad C_1 = \frac{\begin{vmatrix} y_a & 1 \\ y_b & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 1 \\ b & 1 \end{vmatrix}} = \frac{y_a - y_b}{a - b} = \frac{y_b - y_a}{b - a} \qquad \text{(declive)}$$ $$C_2 = \frac{\begin{vmatrix} a & y_a \\ b & y_b \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 1 \\ b & 1 \end{vmatrix}} = \frac{a y_b - b y_a}{a - b} = \frac{y_a b - y_b a}{b - a} \qquad \begin{aligned} &\text{(ordenada} \\ &\text{na origem)} \end{aligned}$$ $$\boxed{ \begin{aligned} &\therefore y(x) = \frac{y_b - y_a}{b - a} x + \frac{y_a b - y_b a}{b - a}, \text{com } a\leq x \leq b \end{aligned} }$$ Ou seja, o caminho mais curto é o segmento de recta que une os pontos $(a, y_a)$ e $(b, y_b)$