cis está cientificamente errado?

Este deve ser o texto mais picuinhas deste blog, peço desculpa ao leitor por isso.
 
Recentemente, num grupo no facebook, alguém perguntou se a "notação $\cis(\theta)$" é permitida em exame nacional.
A notação caiu em desuso desde que em 2017/2018 entrou em vigor o programa das metas curriculares para Matemática A, 12º, e nenhuma das versões seguintes voltou a utilizá-la.

No entanto, alguém comentou que a notação está "cientificamente incorrecta" por ser uma abreviatura.

De $\cis (\theta)$ = cos ( $\theta$ ) + i sin( $\theta$ )  )
Perdão?

Esse é o argumento mais facilmente refutável que me apareceu, pois com ele morriam, por exemplo as notações

• $\lim$ que é abreviatura de limite
• $\log$ que é abreviatura de logaritmo
  
• $\ln$ que é abreviatura de logaritmo natural
  
• $\sin$ que é abreviatura de sinus
  
• $\cos$ que é abreviatura de cosinus

Nem vou falar de $\exp$.

Dizer que $\cis$ está errado por ser abreviatura é o mesmo que dizer que não se pode escrever $\tan(x)$ e que se exige sempre a escrita por extenso de 'tangente'.

"Científicamente errada" não está!

Que a versão recorrendo à exponencial complexa seja preferível em muitos contextos, compreendo, e até concordo com ela nesses contextos.
Para evitar chatices em avaliações, todos os alunos devem utilizar as notações dos seus professores.
Não estou aqui para discutir picuinhices.
Fora desse contexto, desde que se definam as funções  correctamente, podem até criar e usar a notação que vos apetecer, desde que tenham informado adequadamente todo o público alvo.

Agora vamos lá definir rigorosamente a função $\cis$ de $\R$ em $\C$:

$$ \begin{aligned} \text{cis} \colon \R &\to \C \\ \theta &\mapsto \cos(\theta) + i\sin(\theta) \end{aligned} $$

Pode, e deve, confirmar que a função está bem definida.

A notação $\cis$ foi popularizada por matemáticos, nomeadamente por William Rowan Hamilton (o criador dos Quaterniões) no século XIX.

Eu uso-a quando não quero usar a versão exponencial ( por exemplo, se a exponencial complexa ainda não foi definida ), mas citar-me a mim como justificação é má política académica.

Por exemplo a notação $\cis$ é usada em, 

Transition to Higher Mathematics: Structure and Proof - 2ª edição (2015) — Bob A. Dumas & John E. McCarthy

• Define explicitamente Cis(θ) (com maiúscula) logo no capítulo de números complexos.
• Usa de forma consistente ao longo da secção (raízes, operações polares, etc.).
• PDF aberto e gratuito (pode descarregar: qualquer pessoa pode verificar) em https://www.math.wustl.edu/~mccarthy/SandP2.pdf

Outro exemplo, em francês:

•  "Nombres Complexes" (PDF, Bélgica/CESSTEX)
• https://www.cesstex.be/institut-sainte-marie/espace-interactif/mathematique/vandenbruaenne-andre/cours_66/nbres_complexes.pdf

Estou a citar fontes facilmente verificáveis, não quero citar livros que só alguns podem verificar sem gastos extra.

Já que estamos na era das AIs, podem confirmar com elas.

Se é amplamente utilizada? Não.
Se tenciono torná-la a norma? Obviamente não.

A notação exponencial tem muitas vantagens, como por exemplo regras como "a exponencial da soma é o produto das exponenciais" 

E depois de definir a função exponencial complexa, temos uma transição natural.

O que não gosto da notação exponencial, quando não se define antes a função exponencial complexa resume-se a isto:

Não se justifica a um aluno que desconhece séries de potências e equações diferenciais porque se usa justamente o número de Neper (constante de Euler) naquela notação e não outro número real positivo qualquer.
É uma omissão com a qual consigo viver pois desperta a curiosidade de alguns alunos e leva-os a explorar e questionar.

O desuso de $\cis$ não se deve a qualquer erro científico mas sim a preferências educativas, pessoais ou académicas.

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PS: escrito, por mim, em 2013 https://cpaulof2.blogspot.com/2013/05/de-uma-equacao-diferencial-ate-relacao.html , com base em algo que fiz em 1995.