A fórmula do 'haversine'

Vamos lá deduzir a fórmula da imagem:

Consideremos um triângulo esférico, sobre uma esfera com três vértices:

• Polo Norte $N$
• Vértice $A$: Latitude $\phi _{1}$, Longitude $\lambda _{1}$
• Vértice $B$: Latitude $\phi _{2}$, Longitude $\lambda _{2}$

As amplitudes dos três lados deste triângulo são:

• Lado $a$ (oposto a $A$):$90^\circ - \phi_2$
• Lado $b$ (oposto a $B$):$90^\circ - \phi_1$
• Lado $c$ (oposto ao Polo, entre o Ponto 1 e o Ponto 2): $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$.

Aplicando a Lei dos Cossenos para triângulos esféricos do post anterior ao lado $c$: $$\cos c=\cos a\cos b+\cos A \sen a\sen b$$ $$\Leftrightarrow \cos c=\sen \phi_2\sen\phi_1+\cos (\Delta\lambda)\cos\phi_2\cos\phi_1$$ O comprimento $d$ do arco de amplitude $c$ é $\color{green}d=r\times c$ onde $r$ é o raio daquela esfera. Só que a nossa fórmula ainda não se parece sequer com a da imagem.
Recorrendo à formula $\cos 2\theta= 1-2{\sen}^2\theta$ podemos escrever \[\cos c=1-2{\sen}^2\left(\frc{c}{2}\right)\] \[\cos \left(\Delta\lambda\right)=1-2{\sen}^2\left(\frc{\Delta\lambda}{2}\right)\] e substituir na fórmula que resultou da aplicação da fórmula dos cossenos. $$1-2{\sen} ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\sen \phi _{1}\sen \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\left[1-2{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)\right]$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}\sen \phi _{1}\sen \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}\cos \left(\phi _{2}- \phi _{1}\right)}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}1-2{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow {\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)={\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow c=2\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$ $$\Leftrightarrow \mathbin{\color{green}\frac{d}{r}}=2\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$ $$\Leftrightarrow d=2r\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$

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haversine é a função \[\text{hav } \theta={\sen} ^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\] Que permite reescrever a fórmula com outro aspecto: $$\text{hav }\left(\mathbin{\color{green}\frac{d}{r}}\right)=\text{hav }\left(\Delta\phi\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\text{hav }\left(\Delta \lambda \right)$$

Triângulos esféricos.

 Recentemente, apareceu-me numa rede social, a fórmula, para a distancia (mais curta) entre dois pontos numa superfície esférica conhecendo as latitudes $\phi$; e as longitudes $\lambda$

Ocorreram-me algumas formas de justificar aquela fórmula.
A mais simples deve ser com triângulos esféricos.

Sobre uma superfície esférica, desenha-se um triângulo $[ABC]$ onde os lados $A$, $B$ e $C$ são arcos de circunferência cujo raio coincide com o da superfície esférica. Por tradição, utilizarei a mesma notação para o vértice $A$ e o ângulo entre os arcos $\arc{AB}$ e $\arc{AC}$. E para simplificar, de forma análoga ao que se faz com triângulos euclidianos, designarei por $a$ a medida(amplitude) do arco oposto a $A$, por $b$ a medida do arco oposto a $B$ e por $c$ a medida do arco oposto a $C$.
O desenho de fundo amarelo foi elaborado hoje de manhã enquanto eu estava no café... (Snack-Bar Pinoco, na Camacha, Madeira).
Assim como a dedução das fórmulas que apresento ao lado.
As deduções nunca me foram mostradas, mas sou capaz de as fazer. As que vou apresentar são um mero exercício de geometria analítica no espaço.
Hoje em dia as fórmulas podem-se consultar online. O que tira um pouco a piada.
Por isso nos meus textos gosto de apresentar algumas justificações (não todas...) e não de pregar a Matemática como uma religião.
Uma vez que vou recorrer a geometria analítica, para perceber o que ando a fazer, é necessário conhecer as fórmulas e propriedades dos produtos escalar usual, produto externo, e já agora o básico de trigonometria. Vou ainda impor que todos os angulos considerados estejam em $]0, 180^0[$

Nestes triângulos são válidas as fórmulas: Lei dos cossenos: $\cos a=\cos b \cos c + \cos A \sen b \sen c$ $\cos b=\cos a \cos c + \cos B \sen a \sen c$ $\cos c=\cos a \cos b + \cos C \sen a \sen b$ Lei dos senos (Versão 1): \[\frc{\sen a}{\sen A}=\frc{\sen b}{\sen B}=\frc{\sen c}{\sen C}\]

Lei dos senos (Versão 2): $$\sen A \sen b \sen c = \sen a \sen B \sen c = \sen a \sen b \sen C $$

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Uma dedução da lei dos cossenos, via geometria analítica.
Cosidere-se um referencial ortonormado $Oxyz$
Sem qualquer perda de generalidade, consideremos a esfera de raio 1 centrada na origem.
Vamos rodar a esfera por forma que:

• O vector posição $\vec{u}_A$ do ponto $A$ tem coordenadas $(1,0,0)$
• O vector posição $\vec{u}_B$ do ponto $B$ tem coordenadas $(\cos c,\sen c,0)$
• O vector posição $\vec{u}_C$ do ponto $C$ tem coordenadas $(x_C,y_C,z_C)$

Sendo os pontos $A,B$ e $C$, pontos da superfície esférica, os vectores posição têm todos norma euclidiana $1$.
É-me útil conhecer pelo menos a expressões para $x_C$ e $y_C$
As propriendades do produto escalar permitem-me escrever $$\vec{u}_A\cdot\vec{u}_C=x_C$$ e $$\vec{u}_A\cdot\vec{u}_C=\cos b$$ portanto, $$x_C=\cos b$$
O ângulo interno no vértice $A$ é o ângulo entre os planos $OAB$ e $OAC$. Só que este ângulo é também o ângulo entre vectores ortogonais* aos respectivos planos!

Um vector normal a $OAB$ é $(0,0,1)$
Um vector normal a $OAC$ é $\vec{OA}\times\vec{OC}=(0,-z_C,y_C)$ e a norma deste vector é $\sen b$. Então, uma vez mais, graças às propriedades do produto escalar: \[(0,0,1)\cdot(0,-z_C,y_c)=1\times\sen b\times \cos A\] ou seja $$y_C=\sen b\cos B$$ Como a amplitude do ângulo entre os vectores $\vec{u}_B$ e $\vec{u}_C$ é $a$, então :
$$\cos a=\vec{u}_C\cdot\vec{u}_B=\cos b \cos c + \sen c\sen b \cos A $$ Ou seja:$$\cos a=\cos b \cos c + \cos A \sen b \sen c$$ As outras duas fórmulas obtêm-se de forma análoga, fazendo cada um dos outros arcos estar no plano $xoy$.

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As fórmulas dos senos (das duas versões) obtêm-se tendo em conta que o volume do paralelipípedo de arestas $\vec{u}_A,\vec{u}_B$, e $\vec{u}_C$ é $$V=|\vec{u}_A\cdot(\vec{u}_B\times\vec{u}_C)|=|\vec{u}_B\cdot(\vec{u}_C\times\vec{u}_A)|=|\vec{u}_C\cdot(\vec{u}_A\times\vec{u}_B)|$$

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Agora, tendo estas fórmulas será capaz de deduzir a fórmula inícial deste texto?
Continua no próximo texto...

Figura:Um triângulo esférico desenhado no Geogebra

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*Há algum cuidado a ter com estes vectores... deixo esse detalhe ao cuidado do leitor mais curioso.