A fórmula do 'haversine'

Vamos lá deduzir a fórmula da imagem:

Consideremos um triângulo esférico, sobre uma esfera com três vértices:

• Polo Norte $N$
• Vértice $A$: Latitude $\phi _{1}$, Longitude $\lambda _{1}$
• Vértice $B$: Latitude $\phi _{2}$, Longitude $\lambda _{2}$

As amplitudes dos três lados deste triângulo são:

• Lado $a$ (oposto a $A$):$90^\circ - \phi_2$
• Lado $b$ (oposto a $B$):$90^\circ - \phi_1$
• Lado $c$ (oposto ao Polo, entre o Ponto 1 e o Ponto 2): $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$.

Aplicando a Lei dos Cossenos para triângulos esféricos do post anterior ao lado $c$: $$\cos c=\cos a\cos b+\cos A \sen a\sen b$$ $$\Leftrightarrow \cos c=\sen \phi_2\sen\phi_1+\cos (\Delta\lambda)\cos\phi_2\cos\phi_1$$ O comprimento $d$ do arco de amplitude $c$ é $\color{green}d=r\times c$ onde $r$ é o raio daquela esfera. Só que a nossa fórmula ainda não se parece sequer com a da imagem.
Recorrendo à formula $\cos 2\theta= 1-2{\sen}^2\theta$ podemos escrever \[\cos c=1-2{\sen}^2\left(\frc{c}{2}\right)\] \[\cos \left(\Delta\lambda\right)=1-2{\sen}^2\left(\frc{\Delta\lambda}{2}\right)\] e substituir na fórmula que resultou da aplicação da fórmula dos cossenos. $$1-2{\sen} ^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\sen \phi _{1}\sen \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\left[1-2{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)\right]$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}\sen \phi _{1}\sen \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}\cos \left(\phi _{2}- \phi _{1}\right)}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow 1-2{\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)=\mathbin{\color{red}1-2{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)}-2\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow {\sen}^{2}\left(\frac{c}{2}\right)={\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)$$ $$\Leftrightarrow c=2\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$ $$\Leftrightarrow \mathbin{\color{green}\frac{d}{r}}=2\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$ $$\Leftrightarrow d=2r\arcsen \left(\sqrt{{\sen}^2\left(\frc{\phi _{2}- \phi _{1}}{2}\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}{\sen} ^{2}\left(\frac{\Delta \lambda }{2}\right)}\right)$$

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haversine é a função \[\text{hav } \theta={\sen} ^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\] Que permite reescrever a fórmula com outro aspecto: $$\text{hav }\left(\mathbin{\color{green}\frac{d}{r}}\right)=\text{hav }\left(\Delta\phi\right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\text{hav }\left(\Delta \lambda \right)$$