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sexta-feira, 15 de agosto de 2025

De um ponto fixo às fracções contínuas

Todo o número real em $]0,1]$ é inverso de um (e só um) número real em $[1,+\infty[$.
 Ora, como $1<2<4$ então $1<\sqrt{2}<2$
Portanto existe um número real $r>1$ tal que
$$\sqrt{2}=1+\frc{1}{r}$$
Esse $r$ consegue calcular-se:
$$r=\frc{1}{\sqrt{2}-1}=\frc{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}^2-1^2}=1+\sqrt{2}$$
Ou seja
$$\sqrt{2}=1+\frc{1}{1+\sqrt{2}}$$
Aquele $\sqrt{2}$ escrito à custa dele próprio pode parecer estranho, mas pode interpretar-se assim: $\sqrt{2}$ é um ponto fixo da função de termo geral $$f(x)=1+\frc{1}{1+x}$$

Só que também se pode escrever 
$$\sqrt{2}=1+\frc{1}{1+\sqrt{2}}=1+\frc{1}{2+\frc{1}{1+\sqrt{2}}}$$
E se continuarmos obtemos a expressão com infinitas fracções:
$$\sqrt{2}=1+\frc{1}{2+\frc{1}{2+\frc{1}{2+\frc{1}{2+\frc{1}{2+\cdots}}}}}$$

A esta expansão chamamos expansão de $\sqrt{2}$ em fracção contínua simples.
Se calhar é boa ideia definir isto de forma rigorosa.

Considere-se uma sequência, ou uma sucessão de números positivos $(a_n)_{n\in \N_0}$. Se fizer sentido, à expressão $$a_0+\frc{1}{a_1+\frc{1}{a_2+\frc{1}{a_3+\frc{1}{a_4+\frc{1}{a_5+\cdots}}}}}$$ Chamamos fracção contínua simples
Se a sucessão $(a_n)_{n\in \N_0}$ for finita, isto é, se for uma sequência, a expressão diz-se uma fraccão contínua finita, e será infinita caso contrário.

Uma consequência óbvia é que todos os números racionais têm expansão em fracção contínua finita, e então se a expansão é infinita, o número é irracional.
Isso torna as fracções contínuas em ferramentas uteis e simples para provar que um número é racional ou irracional. Há mais algumas notações e definições que eu poderia introduzir já, só que vou deixar para quando eu precisar delas.
Exercício: por analogia ao que fiz com $\sqrt{2}$ obtenha uma expansão para $\sqrt{3}$

E se for ao contrário?
Conseque descobrir que número positivo tem a expansão abaixo? $$1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\cdots}}}}}$$ Não é complicado. Se $$x=1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\cdots}}}}}$$ então $$x=1+\frc{1}{x}$$ 
É um problema de ponto fixo.
Este é equivalente a $x^2-x-1=0$ portanto $$x=\phi=\frc{1+\sqrt{5}}{2}$$ Ou melhor ainda,$$\phi=\frc{1+\sqrt{5}}{2}=1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\frc{1}{1+\cdots}}}}}$$ Por hoje é tudo. Posso prometer fazer algo mais interessante com fraccões contínuas da próxima vez que eu falar delas.

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