Problemas de geometria clássica em geometria analítica

 Por estes dias, nos intervalos das minhas noites como enfermeiro, quando as minhas dores vão incomodam muito, ando a revisitar/modificar alguns dos meus programas de calculadora.

Em particular, um cuja última versão era de 2014, na minha Casio fx-9860GII SD em que dados 3 pontos do plano, dá as coordenadas de circuncentro, incentro, ortocentro, baricentro, do triângulo cujos vértices são esses pontos. Ainda dá os raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo, e ainda desenha o triângulo e essas circunferências.

Para escrever o código na altura eu deduzi as fórmulas para as coordenadas de incentro e circuncentro.
Penso que devem reencontrar as deduções nos meus blogues anteriores, mas um dia deixo para aqui as fórmulas dessas coisas. Para ortocentro e baricentro, limitei-me a recorrer aos métodos geométricos e escrevê-los algebricamente na calculadora.

Agora juntei algo óbvio: determinar a área e o perímetro desse triângulo, assim como os ângulos internos. E ainda algo novo: dados os pontos $A,B$ e $C$. quais as coordenadas dos centros e raios das circunferências que passam em $A$ e são tangentes a $BC$ em $B$ e em $C$.
 [Para quê? Isso fica no segredo dos deuses]

Tendo em conta o que eu acabei de escrever, é óbvio que eu sei calcular  e desenhar tudo isso com papel e lápis. 

Por isso, vou propor este exercício:

Considere os pontos $A(-1,-2)$; $B(2,3)$ e $C(0,5)$.

Determine:

a) As coordenadas do circuncentro de $\Delta[ABC]$ e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo

b) As coordenadas do incentro de $\Delta[ABC]$ e o raio da circunferência inscrita ao triângulo

c) As coordenadas do Baricentro de $\Delta[ABC]$

d)As coordenadas do Ortocentro de $\Delta[ABC]$

e) A área e o perímetro de $\Delta[ABC]$

f)As equações reduzidas das circunferências que passam em $A$ e são tangentes a $BC$ em $B$ e em $C$.

g) Valores aproximados para os angulos internos de $\Delta[ABC]$.

Acredito que depois de terem calculado isto tudo à mão sem eu ter dado as soluções o leitor percebe porque dá jeito ter uma ferramenta tecnológica que o faça... nem que seja para confirmar cálculos. Sem o meu programa de calculadora, hoje em dia poderá recorrer a ferramentas como o geogebra...

Eu vou convertê-lo para TI-84Plus CE.
O código não é Python.
É basic.

 Eventualmente vou escrever uma versão python para a minha numworks, e uma em Mathematica para ter à mão nos meus raspberrypi.

Quanto às soluções...deixo-as um dia.

Exercício perdido

Ás vezes aparecem exercícios nas redes sociais que me parecem trabalhos de casa, e não me apetece responder.
Este — Ver imagem —, não reencontrei depois de o resolver, mas achei engraçado. Pediam o valor de $\cos \theta$.
Eu consigo dar-vos a resposta sem recorrer a tecnologia. $$\cos \theta=\frc{1+\sqrt{5}}{4}$$ Consegue deduzir este valor?
Eu não vou partilhar a minha resolução.
Aquele ponto $D$ parecia sugestão para resolver o problema, logo, dava a impressão de uma tarefa proposta a um aluno... é por isso que não quero dar uma resolução. Agora a solução, dou, sem problemas.

---

Sugestões para uma possível resolução:

• Os triângulos $[ABC]$ e $[ACD]$ são semelhantes.
• Teorema de Carnot (Lei dos cossenos).

Pontos e curvas (I)

 Não era disto que eu ia falar hoje, eu ia falar de Topologia...
Como é uma ideia simples, fica.
Deixo Topologia para outro dia.

No plano, a equação geral de uma recta é $$Ax+By+C=0$$

onde $A, B$ e $C$ são parâmetros reais.
Se escolhermos um referencial adequado, a equação até consegue-se escrever com menos um parâmetro. $y=ax + b$, se $B\neq 0$ .

Basta resolver a equação em ordem a $y$,mas se $B=0$, também se resolve –até sem trocar as variáveis $x$ e $y$.

 Por exemplo, $x-1=0$ num referencial cujos eixos estão nas rectas $y=x-1$ e $y=-x+1$ pode ser reescrita como $$ y'= x' $$ (onde $x'$ e $y'$ são as coordenadas nos novos eixos e não derivadas...) 

 Deixo para outro post a forma de converter curvas de um referencial para o outro.
O facto de existir (sempre) pelo menos um referencial no plano onde uma recta se consegue escrever na forma $y=ax+b$ uma equação que depende apenas de dois parâmetros, mostra-nos que "dois pontos definem uma recta", pois bastam-nos dois pontos (distintos) do plano para, recorrendo a um sistema linear de duas equações e duas incógnitas ($a$ e $b$) determinar os parâmetros $a$ e $b$

Também existe sempre um referencial no plano onde uma parábola se escreve com uma equação da forma $$y=ax^2+bx+c$$ 

Portanto com "três pontos se constrói uma parábola".

 É suficiente ter 3 pontos?

 Não, o sistema linear que se obtém com os 3 pontos tem de ser possível e determinado, para se obter uma equação única no referencial considerado.
A equação geral de uma cónica no plano é $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey +F=0$ O mesmo tipo de raciocínio permite-nos reduzir o número de parâmetros em uma unidade, e portanto com no máximo 5 pontos se define uma cónica.
Não estamos limitados ao plano...
É algo óbvio, que por ser tão óbvio não se ensina. Ou será que não é bem assim?
Deixo então a questão:

---

Consegue deduzir a relação entre o número de parâmetros da equação de uma curva, e o número mínimo de pontos necessários para definir essa curva?

---

A equação reduzida da circunferência sugere que 3 pontos podem definir uma circunferência.

Consegue deduzir a equação reduzida da circunferência que contém os pontos $(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$? Só inventei os pontos. Não fiz as contas... ficam para a próxima vez que eu for ao café, mas deixo uma pista: é a circunferência circunscrita ao triângulo cujos vértices são esses 3 pontos. Até é fácil...

[ Horas depois do café...]

 Há mais de 10 anos deduzi (e implementei numa calculadora) uma fórmula para deduzir os parâmetros dessa circunferência.
Afinal, nem é novidade!
E eu consigo dar a solução: $$\left( x-\frc{1}{8}\right)^2 + \left( y-\frc{9}{4}\right)^2=\frc{1445}{64}$$
Se quiser, pode confirmar que esta circunferência, de facto contém os os pontos de coordenadas

$(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$. Consegue deduzir esta equação a partir destes pontos?

---

Nota: $22\frc{37}{64}$ é um numeral misto. Ainda se ensina no nosso sistema de ensino. $$22\frc{37}{64}=22+\frc{37}{64}=\frc{22\times 64+37}{64}=\frc{1445}{64}$$

---

PS: Ao escrever este texto, notei, que o meu smartphone apaga palavras, frases, sem eu perceber porquê.
Vi-o a fazer isso à minha frente!

(Ainda) Não sei justificar este comportamento, mas comecei a entender o que se passa com alguns dos meus textos, que de vez em quando precisam de ser revistos.

Os hexágonos continuam: Pavimentações com hexágonos

 

A foto é de uma pavimentação na Camacha, Madeira, onde passo (quase) diariamente.

O tapete de hexágonos é do snack-bar Pinoco, no centro da Camacha. O pé é meu.

Há muito mais hexágonos para além das abelhas.
O pavimento que eu usei na imagem dos robôs do post anterior, escrevi-o em Python.

O que me leva à questão: sem  recorrer a inteligência artificial, modelos de linguagem e afins, como elaboraria um algoritmo para gerar uma pavimentação de hexágonos? Pode ser em pseudo-código. Python é só 'a linguagem da moda' e não gosto da ideia de ficarmos presos a ela. 

Se eu me lembrar a por uma calculadora na mochila, amanhã, volto ao assunto.

Havendo hexágonos em tanto lado, até em V'ger e C'quer ( C'quer é a versão de V'ger num    universo paralelo, onde a Terra em vez de sondas Voyager mandou sondas Conqueror... quem estiver interessado nessa versão pode jogar Star Trek Online ou então ver os meus vídeos no canal Youtube 'CPauloF Joga').

Eu posso partilhar a minha versão de um algoritmo, só que em vez de um mundo de utilizadores (também são necessários, não me interpretem mal), prefiro um  mundo com gente criativa.
Pense um bocado.
Como geraria uma pavimentação de hexágonos?

• Com lápis, régua, compasso e esquadro?
• Com papel, lapis, régua, compasso, mas sem esquadro?
• E informaticamente.  [Em pseudocodigo, num computador, numa calculadora, em BASIC, sem Python]

E...? Está bem. Não pergunto mais hoje. Não vou dar soluções. Posso mostrar fotos, só para terem noção que as soluções existem.

(update de 15 de Julho de 2025)

Estão a ver? Eu não estou a perguntar nada que não tenha já feito. A Casio 9860GII não tem Python.

O que interessa não é a linguagem, nem mesmo saber programar. É a capacidade de conceber um algoritmo, 'uma receita' para fazer isto. Depois, numa linguagem que o leitor conheça, o leitor escreve a receita, e uma máquina que conheça a linguagem... executa.

Eu poderia fazer mais perguntas, vou deixar para outro dia.

---

PS: Para escrever o codigo BASIC usado para gerar as pavimentações na calculadora... fiz os cálculos mentalmente, mas houve apenas um (até simples) que foi escrito num guardanapo, no café.