Não era disto que eu ia falar hoje, eu ia falar de Topologia...
Como é uma ideia simples, fica.
Deixo Topologia para outro dia.
No plano, a equação geral de uma recta é $$Ax+By+C=0$$
onde $A, B$ e $C$ são parâmetros reais.
Se escolhermos um
referencial
adequado,
a equação até consegue-se escrever com menos um parâmetro.
$y=ax + b$,
se $B\neq 0$ .
Basta resolver a equação em ordem a $y$,mas se $B=0$, também se resolve –até sem trocar as variáveis $x$ e $y$.
Por exemplo, $x-1=0$ num referencial cujos eixos estão nas rectas $y=x-1$ e $y=-x+1$ pode ser reescrita como $$ y'= x' $$ (onde $x'$ e $y'$ são as coordenadas nos novos eixos e não derivadas...)
Deixo para outro post a forma de converter curvas de um
referencial
para
o outro.
O facto de existir (sempre) pelo menos um referencial no plano onde uma recta se consegue escrever na forma $y=ax+b$ uma equação que depende apenas de dois parâmetros, mostra-nos que "dois pontos definem uma recta", pois bastam-nos dois pontos (distintos) do plano para, recorrendo a um sistema linear de duas equações e duas incógnitas ($a$ e $b$) determinar
os parâmetros $a$ e $b$
Também existe sempre um referencial no plano onde uma
parábola se escreve com uma equação da forma
$$y=ax^2+bx+c$$
Portanto com "três pontos se constrói uma parábola".
É suficiente ter 3 pontos?
Não, o sistema linear que se obtém com os 3 pontos tem de ser possível e determinado, para se obter uma equação única no referencial considerado.
A equação geral de uma cónica no plano é $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey +F=0$
O mesmo tipo de raciocínio permite-nos reduzir o número de parâmetros em uma unidade, e portanto com no máximo 5 pontos se define uma cónica.
Não estamos limitados ao plano...
É algo óbvio, que por ser tão óbvio não se ensina. Ou será que não é bem assim?
Deixo então a questão:
Consegue deduzir a relação entre o número de parâmetros da equação de uma curva, e o número mínimo de pontos necessários para definir essa curva?
A equação reduzida da circunferência sugere que 3 pontos podem definir uma circunferência.
Consegue deduzir a equação reduzida da circunferência que contém os pontos $(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$? Só inventei os pontos. Não fiz as contas... ficam para a próxima vez que eu for ao café, mas deixo uma pista: é a circunferência circunscrita ao triângulo cujos vértices são esses 3 pontos. Até é fácil...
[ Horas depois do café...]
Há mais de 10 anos deduzi (e implementei numa calculadora) uma fórmula para deduzir os parâmetros dessa circunferência.
Afinal, nem
é
novidade!
E eu consigo dar a solução:
$$\left( x-\frc{1}{8}\right)^2 + \left( y-\frc{9}{4}\right)^2=\frc{1445}{64}$$
Se quiser, pode confirmar que esta circunferência, de facto contém os os pontos de coordenadas
$(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$. Consegue deduzir esta equação a partir destes pontos?
Nota: $22\frc{37}{64}$ é um numeral misto. Ainda se ensina no nosso sistema de ensino.
$$22\frc{37}{64}=22+\frc{37}{64}=\frc{22\times 64+37}{64}=\frc{1445}{64}$$
PS: Ao escrever este texto, notei, que o meu smartphone apaga palavras, frases, sem eu perceber porquê.
Vi-o a fazer isso à minha frente!
(Ainda) Não sei justificar este comportamento, mas comecei a entender o que se passa com alguns dos meus textos, que de vez em quando precisam de ser revistos.
