Pontos e curvas (I)

 Não era disto que eu ia falar hoje, eu ia falar de Topologia...
Como é uma ideia simples, fica.
Deixo Topologia para outro dia.

No plano, a equação geral de uma recta é $$Ax+By+C=0$$

onde $A, B$ e $C$ são parâmetros reais.
Se escolhermos um referencial adequado, a equação até consegue-se escrever com menos um parâmetro. $y=ax + b$, se $B\neq 0$ .

Basta resolver a equação em ordem a $y$,mas se $B=0$, também se resolve –até sem trocar as variáveis $x$ e $y$.

 Por exemplo, $x-1=0$ num referencial cujos eixos estão nas rectas $y=x-1$ e $y=-x+1$ pode ser reescrita como $$ y'= x' $$ (onde $x'$ e $y'$ são as coordenadas nos novos eixos e não derivadas...) 

 Deixo para outro post a forma de converter curvas de um referencial para o outro.
O facto de existir (sempre) pelo menos um referencial no plano onde uma recta se consegue escrever na forma $y=ax+b$ uma equação que depende apenas de dois parâmetros, mostra-nos que "dois pontos definem uma recta", pois bastam-nos dois pontos (distintos) do plano para, recorrendo a um sistema linear de duas equações e duas incógnitas ($a$ e $b$) determinar os parâmetros $a$ e $b$

Também existe sempre um referencial no plano onde uma parábola se escreve com uma equação da forma $$y=ax^2+bx+c$$ 

Portanto com "três pontos se constrói uma parábola".

 É suficiente ter 3 pontos?

 Não, o sistema linear que se obtém com os 3 pontos tem de ser possível e determinado, para se obter uma equação única no referencial considerado.
A equação geral de uma cónica no plano é $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey +F=0$ O mesmo tipo de raciocínio permite-nos reduzir o número de parâmetros em uma unidade, e portanto com no máximo 5 pontos se define uma cónica.
Não estamos limitados ao plano...
É algo óbvio, que por ser tão óbvio não se ensina. Ou será que não é bem assim?
Deixo então a questão:

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Consegue deduzir a relação entre o número de parâmetros da equação de uma curva, e o número mínimo de pontos necessários para definir essa curva?

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A equação reduzida da circunferência sugere que 3 pontos podem definir uma circunferência.

Consegue deduzir a equação reduzida da circunferência que contém os pontos $(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$? Só inventei os pontos. Não fiz as contas... ficam para a próxima vez que eu for ao café, mas deixo uma pista: é a circunferência circunscrita ao triângulo cujos vértices são esses 3 pontos. Até é fácil...

[ Horas depois do café...]

 Há mais de 10 anos deduzi (e implementei numa calculadora) uma fórmula para deduzir os parâmetros dessa circunferência.
Afinal, nem é novidade!
E eu consigo dar a solução: $$\left( x-\frc{1}{8}\right)^2 + \left( y-\frc{9}{4}\right)^2=\frc{1445}{64}$$
Se quiser, pode confirmar que esta circunferência, de facto contém os os pontos de coordenadas

$(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$. Consegue deduzir esta equação a partir destes pontos?

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Nota: $22\frc{37}{64}$ é um numeral misto. Ainda se ensina no nosso sistema de ensino. $$22\frc{37}{64}=22+\frc{37}{64}=\frc{22\times 64+37}{64}=\frc{1445}{64}$$

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PS: Ao escrever este texto, notei, que o meu smartphone apaga palavras, frases, sem eu perceber porquê.
Vi-o a fazer isso à minha frente!

(Ainda) Não sei justificar este comportamento, mas comecei a entender o que se passa com alguns dos meus textos, que de vez em quando precisam de ser revistos.