O exemplo do homeomorfismo

 Eu nunca fui grande fã de aulas onde um professor se limita a ler.
Até porque ler, leio eu, num ambiente onde me sinta melhor.

  Se me dei ao trabalho de me deslocar a uma sala de aula, espero ver algo diferente.

São uma falta de consideração com o público.

No caso de Matemática, exposições bourbaquistas, teorema-demonstração, podem ser um pesadelo.
Eu gosto de livros com teorema-demonstração, leio-os, normalmente com um papel e alguma ferramenta computacional ao lado para testar ideias.

Ensinar, muitas daquelas aulas não ensinam nada. Ou melhor, ensinar, até ensinam. Como não dar uma aula.

Conheci poucas pessoas capazes de dar uma aula "Teorema-demonstração" como deve ser, logo, sei que elas existem. Essas aulas foram fantásticas.
Afinal, é possível uma aula "Teorema-Demonstração" ser interessante.

Vi muitos 'leitores' –principalmente no ensino alegadamente superior– a defenderem-se que não lhes compete motivar os alunos. 

Eu não quero debater isso neste blog, sai do âmbito do que pretendo, só vou dizer:

"Ao menos, façam-me o favor de não desmotivar ninguém."

O conceito de homeomorfismo foi um dos que me apareceu várias vezes em vários livros, cadeiras, palestras, etc... e para um conceito simples, há gente que o complica muito.
Algumas das definições rigorosas e correctas têm um problema: não são didácticas.

Lê-las e passar à frente... não ensina.

 Quem "as lê" numa aula não está interessado em ser percebido, ou não tem qualquer respeito pelo público alvo.

Lê-las "a seco" de um powerpoint até fazem uma pessoa bocejar...

O caso do homeomorfimo, (não confundir com homomorfismo) é gritante porque é um conceito simples.

Um homeomorfismo entre espaços métricos, topológicos, ou seja lá o que for, é uma função

• bijectiva
• contínua
• de inversa contínua.

Sabendo isto, qualquer pessoa minimamente dentro da área consegue perceber e escrever uma versão rigorosa, e até perceptível da definição. 
Vi esta definição pela primeira vez, numa cadeira de Topologia, e na altura, a professora Maribel Gordon, fez questão de sublinhar isto!
Uma pessoa que desconheça o conceito ainda se atreve a perguntar:
 "Mas uma função bijectiva contínua pode não ter uma inversa contínua?"
Atrevam-se a perguntar! Devem perguntar. É uma pergunta legítima. 
Sim, pode, caso contrário, este conceito seria desnecessário.

Eu até poderia dar um exemplo. Será que o ChatGPT me dá um correcto? Bem, quem quiser que lhe pergunte.
Todos os textos decentes que introduzem a definição dão exemplos.
Eu não quero ser indecente, mas estou a redigir este texto num smartphone. Vou deixar esse trabalho para o leitor curioso e interessado que desconheça. Encontram-se alguns correctos, mesmo em português de Portugal e em português do Brasil pela Internet.

Uma aula que não seja diferente da leitura de um livro é uma mera perda de tempo.
Respeitem o tempo das pessoas. O tempo é uma das muitas variáveis limitadas na vida das pessoas. Ainda não somos imortais.

Pontos e curvas (I)

 Não era disto que eu ia falar hoje, eu ia falar de Topologia...
Como é uma ideia simples, fica.
Deixo Topologia para outro dia.

No plano, a equação geral de uma recta é $$Ax+By+C=0$$

onde $A, B$ e $C$ são parâmetros reais.
Se escolhermos um referencial adequado, a equação até consegue-se escrever com menos um parâmetro. $y=ax + b$, se $B\neq 0$ .

Basta resolver a equação em ordem a $y$,mas se $B=0$, também se resolve –até sem trocar as variáveis $x$ e $y$.

 Por exemplo, $x-1=0$ num referencial cujos eixos estão nas rectas $y=x-1$ e $y=-x+1$ pode ser reescrita como $$ y'= x' $$ (onde $x'$ e $y'$ são as coordenadas nos novos eixos e não derivadas...) 

 Deixo para outro post a forma de converter curvas de um referencial para o outro.
O facto de existir (sempre) pelo menos um referencial no plano onde uma recta se consegue escrever na forma $y=ax+b$ uma equação que depende apenas de dois parâmetros, mostra-nos que "dois pontos definem uma recta", pois bastam-nos dois pontos (distintos) do plano para, recorrendo a um sistema linear de duas equações e duas incógnitas ($a$ e $b$) determinar os parâmetros $a$ e $b$

Também existe sempre um referencial no plano onde uma parábola se escreve com uma equação da forma $$y=ax^2+bx+c$$ 

Portanto com "três pontos se constrói uma parábola".

 É suficiente ter 3 pontos?

 Não, o sistema linear que se obtém com os 3 pontos tem de ser possível e determinado, para se obter uma equação única no referencial considerado.
A equação geral de uma cónica no plano é $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey +F=0$ O mesmo tipo de raciocínio permite-nos reduzir o número de parâmetros em uma unidade, e portanto com no máximo 5 pontos se define uma cónica.
Não estamos limitados ao plano...
É algo óbvio, que por ser tão óbvio não se ensina. Ou será que não é bem assim?
Deixo então a questão:

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Consegue deduzir a relação entre o número de parâmetros da equação de uma curva, e o número mínimo de pontos necessários para definir essa curva?

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A equação reduzida da circunferência sugere que 3 pontos podem definir uma circunferência.

Consegue deduzir a equação reduzida da circunferência que contém os pontos $(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$? Só inventei os pontos. Não fiz as contas... ficam para a próxima vez que eu for ao café, mas deixo uma pista: é a circunferência circunscrita ao triângulo cujos vértices são esses 3 pontos. Até é fácil...

[ Horas depois do café...]

 Há mais de 10 anos deduzi (e implementei numa calculadora) uma fórmula para deduzir os parâmetros dessa circunferência.
Afinal, nem é novidade!
E eu consigo dar a solução: $$\left( x-\frc{1}{8}\right)^2 + \left( y-\frc{9}{4}\right)^2=\frc{1445}{64}$$
Se quiser, pode confirmar que esta circunferência, de facto contém os os pontos de coordenadas

$(-2,-2)$, $(4,5)$ e $(0,7)$. Consegue deduzir esta equação a partir destes pontos?

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Nota: $22\frc{37}{64}$ é um numeral misto. Ainda se ensina no nosso sistema de ensino. $$22\frc{37}{64}=22+\frc{37}{64}=\frc{22\times 64+37}{64}=\frc{1445}{64}$$

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PS: Ao escrever este texto, notei, que o meu smartphone apaga palavras, frases, sem eu perceber porquê.
Vi-o a fazer isso à minha frente!

(Ainda) Não sei justificar este comportamento, mas comecei a entender o que se passa com alguns dos meus textos, que de vez em quando precisam de ser revistos.

Hexágonos do passado

 Enquanto escrevo isto, o meu pai está no serviço de urgências. 
E eu tenho uma consulta médica daqui a umas horas, devia estar a dormir...

Estou deitado, na cama, acordado.

O facebook continua a achar que eu estou interessado em apicultura.

Num dos posts anteriores, eu disse que "Python é só a linguagem da moda".

Bem, é verdade sim.
Recentemente alguns conhecidos meus passaram a entreter-se com 'uma consola' dos anos 80.

O Zx Spectrum.

Eu nunca tive um Spectrum. Nem vou comprar esta nova versão.
 Um familiar meu teve, colegas meus do (agora) 3°ciclo tiveram, e na altura eu fiquei com a vaga ideia do que era. A primeira vez que vi código – sem perceber patavina daquilo – foi num ZX Spectrum.

Sim, aquilo era programável! Podia-se gravar  código em cassetes e carregar código a partir de cassetes!

Eu fiquei com dificuldades em chamar consola àquilo. Aquilo para mim, era um computador.

A primeira vez que escrevi código meu foi para uma calculadora. Foi nessa altura que percebi o verdadeiro potencial do Spectrum. 

Escrever código meu para Spectrum, só o fiz muitissimo mais tarde, só depois de ter abandonado a Universidade da Madeira, e só por curiosidade.

O Sinclair Basic é muito semelhante a algum do    código que escrevi para algumas calculadoras.

Na verdade, não foi bem para um Spectrum, foi para um emulador de Spectrum. 

Não me apetece gastar dinheiro num Spectrum, em primeiro lugar, porque neste momento, não estou a trabalhar, e em segundo lugar, porque consigo emular legalmente num Raspberry Pi que me saiu bem mais barato que aquela 'consola'.

Também não quero me por a gastar muito tempo num Spectrum mas... sabem? Consegue-se programar uma pavimentação de hexágonos num Spectrum (Pronto, num emulador).

Eu não vou escrever sinclair basic no telemovel, mas posso partilhar screenshots que tenho de outras coisas que copiei de livros para um emulador, enquanto aprendia o essencial...
Estes screenshots vieram de um Raspberry Pi.

O "Espaçoporto" é do livro "Programming your Zx Spectrum" de Tim Hartnell e Dylwin Jones.

Eu tive acesso a uma versão em português, mas, as minhas experiencias com livros de Matemática mostraram-me que versões originais, são sempre  melhores do  que traduções por isso acabei a adquirir a versão original, online.

Será que ainda consigo converter o programa de pavimentações que escrevi na calculadora para o Spectrum? 

Parece que sim! - Não foi escrito no smartphone. Foi escrito em alguns minutos, num emulador a correr no Raspberry Pi, olhando para o código da calculadora e reutilizando código antigo.

Não está optimizado, foi mesmo só para mostrar, que até num Spectrum se faz.
Usa o mesmo algoritmo que criei para a calculadora...

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PS: 

• Também é fácil criar um "Espaçoporto" na calculadora, mas ... tenham juizo.
• Obviamente, à excepção do "Hello World", nenhum dos códigos Sinclair Basic está completo nas imagens.
  No código da pavimentação, as linhas 6,7,8 e 9 podem ser apagadas. Foram usadas para testes...
• Não "colem" linguagens de programação a Matemática. Matemática transcende isso. Pode-se e deve-se recorrer a tudo o que ajude a ensinar Matemática. Só que deve-se distinguir uma coisa da outra. Quem não faz ideia do que diz, que feche a boca e informe-se primeiro.
• O meu pai teve alta no princípio da manhã, e eu lá tive a minha consulta com 1h30m de atraso. Nem reclamo. Já tive piores!

Pausas aleatórias. Será mesmo?

 Eu tenho uma segunda parte de um texto sobre cónicas parcialmente escrito no meu blog Z0nα Exact4.

 Não está publicado porque não está completo. Inicialmente eu ia escrever algumas demonstrações, mas mudei de ideias.

 Propus como exercício. O que se passa é que tenho algumas fichas de trabalho de alguns sítios diferentes onde essas demonstrações são propostas como exercício. 

Eu já tive, em explicações, alunos que 'não raciocinam', memorizam. 

Memorizam 'exercícios tipo', demonstrações, até copiam para pdfs e partilham nas suas drives online. 

Eu passei a adoptar a filosofia: "dou a ideia, faz tu."

E... "a montanha pariu um rato". Para além de memórias 'impressionantes', não há ali capacidades que já era suposto terem. 

Isto de 'memória impressionante' também tem algo que se diga.
 Há pessoas que se dizem incapazes de memorizar a fórmula resolvente (de equações algébricas de segundo grau) mas memorizam letras de canções, poemas e até todas as falas de um filme de duas horas.
Alguém que memoriza isto, não memoriza a fórmula resolvente?
Deixem-me lá dizer o óbvio: é um problema de motivação.

A verdade é que precisamos de um meio termo. Memória e raciocínio.

A memória treina-se. Há truques. Mnemónicas.
Quando eu estava no 10° ano e a professora de CTV (Ciências da Terra e da Vida) me disse que eu tinha de saber de cor os ciclos de Calvin e Krebs, eu levei as mãos à cabeça. "Eu nunca vou memorizar isto."

Mas afinal memorizei. E também memorizei a tabela periódica. Porque tinha de o fazer. 
A memória é 'uma cábula legal', que consegue treinar-se

Só que, há coisas que não devem ser memorizadas. Devem ser feitas raciocinando.

Hoje em dia temos a 'Inteligência Artificial', que não tem os mesmos princípios que eu e até oferece-se para fazer o meu trabalho por mim.

Aquilo que não se usa, atrofia, e por isso, costumo agradecer mas recusar esse tipo de oferta.
Ao escrever num blog, se tenho noção que o que ali escrevi pode ser plagiado para um trabalho de casa ou uma tese, 'deixo buracos' para serem preenchidos pelo leitor.

... não estou a sugerir que boicotem a inteligência artificial. Estou a sugerir que invistam na vossa própria inteligência real. Não é a mesma coisa.

O texto sobre cónicas levou um corte nas demonstrações e começou a parecer um mero e seco formulário. Não gosto de como está. 
Fórmulas requerem LaTeX, que não é o que mais gosto de usar num smartphone. Usar, uso, como viram no post anterior (aquele do $ 52!$ )

No caso das hipérboles, quero usá-las como pontapé de partida para definir as funcões hiperbólicas. Por isso, preciso que aquela parte do texto de cónicas esteja clara.

 Isto de definir as funções hiperbólicas a partir de uma hipérbole, fiz uma vez em papel.
Guardei, mas ficou tão bem guardado que não sei onde está.
Vou ter de o refazer para o blog.
É um exercício giro, e sem riscos porque, nunca o vi feito noutro lado nem a ser pedido em ficha nenhuma de exercícios.
 Penso que não corro o risco de estar a fazer o trabalho de preguiçosos.

Com dores, calor, e uns extras que não vou contar (o leitor não tem de saber de tudo, tem?) e não havendo um prazo real, o texto vai sendo adiado.

Mas deve ficar pronto um dia. Até porque eu gosto mesmo das cónicas.

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PS: Este blog, ficar parado, sem publicações por um dia, significa que nesse dia, não devo ter saído de casa...

Grande número!

Por estes dias o calor abusa. Não me apetece falar de termodinâmica.
Pelo menos não hoje.

Tenho comigo cadernos, lápis, livros, o smartphone e uma calculadora.
 Se for para falar de Matemática hoje... aqui há muita. 

Mas hoje, vou falar de outra coisa.

Conhecem a expressão "Cada um joga com as cartas que lhe saem"?

Um tradicional baralho de cartas de jogar, tem 52 cartas e dois jokers. 

A quantidade de cartas que cada jogador recebe depende do jogo e do numero de jogadores.
A forma como as cartas são jogadas depende do jogo e das decisões de cada jogador.

Ao baralhar um baralho há $$52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$$ disposições possíveis das cartas nesse baralho. Cada disposição, junta com cada jogo e cada jogador tem um número bem alto de jogadas possíveis.
Note que aquele número com muitos algarismos acima é muito maior do que o que se supõe ser a idade do universo em nanosegundos.

Sim, supõe, porque quem vos der certezas... deve ser um vigarista.

Assim sendo, a probabilidade de haver dois jogos totalmente iguais de forma aleatória é praticamente nula.

Discutir jogos de cartas é estúpido. 

Pode-se dizer com uma margem de erro absurdamente baixa que não há dois jogos iguais.
Portanto... isso de discutir os jogos dos outros sem saber as cartas que tinham é estupidez.

Da mesma forma que 'ter certezas' sobre as decisões e rumos das outras pessoas é arrogância, estupidez, e irracional. 

Cada um joga com as cartas que lhe saem.
E até a Matemática sabe que podem ser precisos vários universos para um jogo se repetir. 

Este texto, não é sobre cartas.

Conversas de café e redes sociais (l)

 Matemática é uma ciência especial. Para fazer Matemática não precisamos mesmo de um laboratório, de um computador electrónico, ou sequer de ferramentas. Dar jeito, dão.
Se são necessários? Não!

Só necessitamos da nossa mente.

É difícil chegar a um sítio em que não seja verdade que 'Aqui há Matemática'.

De vez em quando vemos pessoas a perguntar 'Para que é que isto serve?'
Ou a dizer 'Eu nunca vou usar isto na vida.'

'Deviam ter-me ensinado a pagar impostos em vez do teorema de Pitágoras.'

O facto de estas frases sairem de bocas revela algumas falhas do nosso sistema de ensino.

Ensinar legislação fiscal tem algo que se diga. A legislação é aprovada e modificada por políticos. A menos que se ande colado à comunicação social ou a redes sociais (o que eu não recomendo para bem da vossa sanidade mental), é fácil ficar desactualizado.

Mesmo o insultuoso acordo ortográfico (que foi aprovado e 'democraticamente imposto' em Portugal ) foi imposto... e não houve formação obrigatória gratuita.
Só as gerações mais recentes levaram com ela na escola.

Se calhar porque são o público que não vai questionar, e 'engolir' o 'é assim e pronto'.

Com impostos, não é a mesma coisa, é pior: muda-se a lei... e até penaliza-se quem não a souber, porque nunca aprendeu.

E quem paga é a Matemática? O teorema de Pitágoras?

A Matemática é como é para treinar as pessoas a fazer raciocínio lógico, dedutivo. Dar a capacidade de pensamento crítico. 

Até a memória pode e deve ser treinada. Obviamente é insano e inconcebível obrigar uma pessoa a saber quantidades absurdas de Matemática. Existem livros, formulários... só que também vamos por uns requisitos mínimos. É inaceitável 'saber nada'.

Espero que o Teorema de Pitágoras nunca desapareça do ensino obrigatório. Até podem mudar-lhe o nome que não me oponho. Quero uma população que pense e não uma que mecanize e aceite cegamente tudo. 

Melhorem à vontade os programas de Matemática, combatam a ignorância. Isso inclui o justificar porque se ensina o teorema de Pitágoras, cujo conteúdo é uma verdade universal em geometria euclidiana, e não legislação fiscal que muda conforme o país, a época, os políticos, e se calhar, até da fase da Lua.

Os hexágonos continuam: Pavimentações com hexágonos

 

A foto é de uma pavimentação na Camacha, Madeira, onde passo (quase) diariamente.

O tapete de hexágonos é do snack-bar Pinoco, no centro da Camacha. O pé é meu.

Há muito mais hexágonos para além das abelhas.
O pavimento que eu usei na imagem dos robôs do post anterior, escrevi-o em Python.

O que me leva à questão: sem  recorrer a inteligência artificial, modelos de linguagem e afins, como elaboraria um algoritmo para gerar uma pavimentação de hexágonos? Pode ser em pseudo-código. Python é só 'a linguagem da moda' e não gosto da ideia de ficarmos presos a ela. 

Se eu me lembrar a por uma calculadora na mochila, amanhã, volto ao assunto.

Havendo hexágonos em tanto lado, até em V'ger e C'quer ( C'quer é a versão de V'ger num    universo paralelo, onde a Terra em vez de sondas Voyager mandou sondas Conqueror... quem estiver interessado nessa versão pode jogar Star Trek Online ou então ver os meus vídeos no canal Youtube 'CPauloF Joga').

Eu posso partilhar a minha versão de um algoritmo, só que em vez de um mundo de utilizadores (também são necessários, não me interpretem mal), prefiro um  mundo com gente criativa.
Pense um bocado.
Como geraria uma pavimentação de hexágonos?

• Com lápis, régua, compasso e esquadro?
• Com papel, lapis, régua, compasso, mas sem esquadro?
• E informaticamente.  [Em pseudocodigo, num computador, numa calculadora, em BASIC, sem Python]

E...? Está bem. Não pergunto mais hoje. Não vou dar soluções. Posso mostrar fotos, só para terem noção que as soluções existem.

(update de 15 de Julho de 2025)

Estão a ver? Eu não estou a perguntar nada que não tenha já feito. A Casio 9860GII não tem Python.

O que interessa não é a linguagem, nem mesmo saber programar. É a capacidade de conceber um algoritmo, 'uma receita' para fazer isto. Depois, numa linguagem que o leitor conheça, o leitor escreve a receita, e uma máquina que conheça a linguagem... executa.

Eu poderia fazer mais perguntas, vou deixar para outro dia.

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PS: Para escrever o codigo BASIC usado para gerar as pavimentações na calculadora... fiz os cálculos mentalmente, mas houve apenas um (até simples) que foi escrito num guardanapo, no café.

Hexágonos e Abelhas.

 Em 2006 ao chegar a Lisboa, uma pessoa disse-me:
 "Eu conheço uma discoteca da Madeira. Acho que se chama 'As abelhas'."

Eu cerrei os olhos, olhei para ele. Não será "Vespas?"

Respondeu-me: "Sim, era um bicho com asas."

Nos últimos tempos o facebook bombardeou-me com vídeos e informações sobre abelhas. Eu não consumo nem sou obrigado a consumir tudo o que o facebook quer que eu consuma. Coloquei vários 'não estou interessado', mas lá o algoritmo dele continua a bombardear-me com o assunto.

Porquê? Bem...

Na minha página de facebook, "Carlos Paulo Freitas, matemático, professor e explicador", até Setembro de 2024 eu partilhei algumas imagens com tentativa de humor, com alguns dos meus robôs de lego.

Esta, foi a última, é do dia 6 de Setembro de 2024, (o dia em que uma crise convulsiva 'que surgiu do nada' me levou às urgências).

O cenário bem... é a minha sala de explicações, modificada. Substitui as persianas por hexágonos. 

Os hexágonos aparecem em todas.

Porquê hexágonos? Bem... hexágonos aparecem em vários ambientes de ficção científica.

Por exemplo, esta imagem é de 'Star Trek the motion picture' de 1979.

Sendo de 1979, espero não estar a dar novidades a ninguém, mas pronto, cá vai um alerta de spoiler para o próximo parágrafo.

O filme não foi muito bem recebido pela crítica, por boas razões, mas eu gostei do conceito. Uma sonda Voyager da Nasa, lançada no século XX ganha consciência e regressa à Terra, no século XXIII para conhecer o seu criador. A sonda agora sob o nome V'ger (contracção de Voyager) é uma criança birrenta no corpo de um ser muito poderoso, a causar destruição pelo espaço conhecido, rumo à Terra... O resto e o contexto da imagem, bem se quiserem, vão ter de ver o filme e digerir os efeitos especiais da altura.

Por outro lado, de facto é uma forma utilizada pelas abelhas que são bem mais inteligentes do que eu tinha noção.

Há um episódio de "Cosmos: Possible Worlds" que eu vi durante a pandemia (mas não encontro no Disney+?) especificamente sobre as abelhas e que até envolve Matemática.

As abelhas de facto subiram muito na minha consideração depois desse episódio.

O episódio tem o título "The search for intelligent life on Earth" 

A piada é, que como eu disse... não é sobre seres humanos.

Tomem lá um link para o youtube sobre o assunto

https://youtu.be/ubE9hjrsHmI?si=mdmPeaVlK9EBTk7l

Mas cuidado. Não vá o facebook pensar que estão interessados em apicultura e bombardear-vos com informações sobre abelhas.

Espero que o José Carlos Pereira não se chateie por eu partilhar esta parte de uma das nossas conversas. Ele contribuiu com o emoji.

Um dia desenho-vos uma abelha Maia. 

E volto a falar de hexágonos e abelhas.

Os meus robôs também vão voltar.

Algoritmos (I)

Um algoritmo, para todos os efeitos é uma receita. Pronto, rigorosamente falando, é mais o contrário, mas não sejamos picuinhas.
Um algoritmo, bem seguido, conduz-nos sempre ao mesmo resultado.
Não são exclusivos da Matemática. Logo na primeira frase deste texto dei a perceber que também se usam na cozinha.
Ou para dar um nó de gravata.
E sim, também existem para efectuar multiplicações, divisões, calcular raizes quadradas, cúbicas, etc.
Uma fórmula matemática é uma forma sintética de escrever um algoritmo...

Na página da esquerda tenho um algoritmo para desenhar o Tintim.

 Na página da direita, tentei desenhá-lo a olho, sem recorrer a qualquer método, usando 'olhometria' , e à pressa.

 Bem, saíu disparate.

No fundo um algoritmo representa a disciplina. Com disciplina, dificilmente não chegamos ao destino certo.

No caso deste desenho, há outros métodos para chegar ao mesmo fim, e até melhores.

Desde que no ano passado parti uma vértebra, as dores tentam-me a procurar atalhos em algumas coisas (exemplo: desenho). 

A arte consegue dispensar algoritmos. Mas é preciso estar inspirado.

Por estes dias caminho de casa com cadernos de desenho, Matemática e... 
O 'e'... fica para outro dia.
Até à próxima

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PS: Se alguém quiser ver outros desenhos meus, pode visitar o meu DeviantArt. 

Prometo deixar lá um Tintim quando tiver um em condições.

Olá mundo.

    Olá, sejam bem-vindos a um novo blog, ainda sobre Matemática, mas desta vez com muito paleio, descaradamente "enchimento de chouriços", e ideias para quem tiver pachorra de sentar o rabo e rabiscar sobre elas.
    A principal intenção por detrás deste blog, é ser um blog que eu escreva facilmente no smartphone, sem muito LaTeX, ou qualquer outro tipo de código.

Vamos lá ver se consigo...
    Espero que consigam confirmar com os próprios olhos que não sou só mais um crackpot, nem mais um idiota que só sabe fazer contas.
    Aliás eu tenho sérios problemas que se chame matemático ou se dêem títulos em Matemática a quem só sabe fazer contas, repetir algoritmos, ou copiar/citar livros, porque isso são mais características de papagaio do que alguém com inteligência para ser chamado de "matemático".

    É só a minha opinião, não façam disso lei, nem mandamento!
Por agora é tudo.
Ainda tenho muito trabalho a fazer para que este blog fique minimamente decente.

Neste momento é só um clone parcialmente modificado do Z0nα Exact4...