Progressões geométricas na vida real

 Uma pergunta que já toda a gente que de alguma forma está associada ao ensino de Matemática já ouviu é 'para que é que isto serve'?

A resposta mais óbvia é: "Neste momento, para passar esta disciplina/cadeira." 

Resposta parva, mas verdadeira. Só que cada caso é  um caso.

No caso das progressões geométricas, em explicações, eu usei muitas vezes a lenda da criação do xadrez, fractais – sim, com C– gerados por mim, em calculadoras, softwares computacionais, tabelas de folhas de calculo com problemas de juros.

Em finais de Janeiro de 2020, Fevereiro de 2020... Apareceu o Covid-19. Na altura não lhe dei atenção. Parecia-me o tipo de alarmismo de click-bait ou de jornal sensacionalista. Mas as notícias de repente estavam em todo o lado.

Olhando para os números de pessoas infectadas,vi uma sucessão crescente. O ritmo de crescimento diário levou-me a copiar os números para uma folha de cálculo e...

Aquilo  era o tipo de coisas que eu sempre tinha visto em livros e não na vida real.

Pela segunda vez na vida estava a ver ficcão tornar-se realidade. A primeira vez foi a 11 de Setembro de 2001, em que ligando a TV, ao ver os aviões a bater nas Torres gémeas pensei "que efeitos especiais fantásticos", que filme é este? Só que não era filme. Era noticia em todo o lado.

Em 2020.... aquele crescimento era uma progressão geométrica. E como eu até à altura dizia aos meus alunos e explicandos: "As progressões geométricas quando crescem, não crescem, explodem."

Aqueles números estavam em progressão geométrica, de razão 1.4 (Já não me recordo se a cada dia ou a cada dois dias... um dia revejo e actualizo este texto).

A progressão geométrica é uma versão discreta de algo que em Matemática que se chama função exponencial.

Afinal o alarmismo, tinha razão de ser. Com aqueles dados na mão, o que qualquer pessoa responsável tinha de fazer era comunicar ao país.

E foi o que fez o professor Jorge Buescu. Teve a coragem de o fazer na altura, correndo o grande risco de ser ridicularizado, insultado e todo o tipo de infortúnios que vem com a decisão.
Aquele alerta teve mesmo de ser feito! Estava em risco o colapso de todos os sistemas de saúde do país.

No 4o ano da minha Licenciatura tive uma cadeira que no meu certificado de habilitações consta como 'opcão ' e que na verdade eu não a escolhi, e nunca a escolheria nem com uma pistola apontada à cabeça.
Mas nessa cadeira aprendi um "método do Simplex para variáveis limitadas", onde éramos confrontados com problemas de optimização linear com várias variáveis, todas limitadas, isto é, cada uma entre dois valores.

O conceito de 'variável limitada', na verdade, é muito realista. Mesmo fora daquela área.

 Todos os recursos do planeta são limitados. Por maiores que sejam.
Uma consequência disto é: nada que funcione com progressões geométricas crescentes é sustentável na vida real.

Em particular, na Economia. 

Existem esquemas 'de lucro fácil' que em Portugal e muitos países são ilegais:  Esquemas em pirâmide. E têm uma progressão geométrica descarada: cada pessoa que entra tem de trazer outras pessoas para o esquema. Todos têm  de contribuir!!!

Não é preciso ser matemático para perceber que há qualquer coisa a funcionar mal neste esquema, é? Tanto as quantidades de pessoas como a quantidade de dinheiro disponível no planeta são limitados. Incluindo o (dinheiro) falso.

Portanto... um matemático que entre num esquema destes ou é um vigarista, ou foi formado por incompetentes.

Aqui na Madeira, depois do esquema TelexFree, (de que já falei e analisei noutros blogs) a situação é bem mais grave.

E se eu vos disser que... um dia, alguns ex-alunos meus, que não se conhecem entre si, que foram alunos meus durante no mínimo 3, e os mais velhos, 6 ou mais anos foram assediados para um esquema destes, por alguém... de Matemática?

Como se sentirá um aluno ao entrar numa sala de aula e ver à frente, como professor, alguém que o tentou meter num esquema em pirâmide?

Não estamos a falar de alunos que eu conheci num semestre e foram embora. Estamos a falar de alunos que me aturaram durante 6 a 12 semestres, e ainda entram em contacto hoje em  dia.

'Em que é que vou usar isto'?
Pode-se usar, por exemplo, para reconhecer pandemias... incompetentes e vigaristas.

A legislação pode falhar. Mas a Matemática não!

---

PS: de momento não estou a dar explicações, mas posso fazer trabalho de consultadoria matemática. Passo recibo... por enquanto como explicador, depois investigo o melhor quadro legal da coisa.

Se já há "personal trainers" de Matemática, isto parece-me bem mais legítimo, e ajuda-me a pagar contas.

Se está a ler este blog e quer saber mais sobre progressões geométricas ... pesquise. Com sorte até encontra algo escrito por mim.

---

Revisões

• 26/09/2025-Pequenas Correcções de texto

Kepler, Newton, Apostol e Feynman.

Quando eu estava no secundário aprendi "as três" leis de Kepler sobre o movimento dos planetas.
Sei que as duas primeiras foram publicadas em 1609 e a terceira em 1619.
Também sei que ele enunciou outras, mas que não se verificam.
Estas leis foram baseadas em observações detalhadas de Tycho Brahe.
Podem ser aceites como postulados, mas também conseguem ser deduzidas a partir das leis de Newton, incluindo a lei da gravitação universal.
Bem... mais ou menos.
Eu um dia fiz as contas, recorrendo apenas a mecânica newtoniana e a geometria analítica, mas mais tarde ataquei a primeira lei como um sistema de equações diferenciais ordinárias.
A primeira lei de Kepler diz que as órbitas dos planetas são elipses, em que o Sol está num dos focos.
Vamos substituir elipses por "aproximadamente elipses". É que para serem exactamente elipses, a resultante das forças sobre cada planeta teria de ser a força exercida pelo Sol. De facto, a curto prazo, podem-se considerar desprezáveis as forças exercidas por outros planetas.
Só que... por exemplo no nosso sistema solar existe um gigante chamado Júpiter.

"O planeta mais perto de Júpiter, se não me engano, é Marte"
( Esta afirmação tem muito que se diga, mas vou deixar assim, e discuto o assunto noutro texto ).
 A força exercida por Júpiter em Marte em cada rotação, pode ser vista como um pequeno empurrão. Depois de milhões de 'pequenos empurrões', já altera a trajectória de Marte.
 Vi recentemente  Neil deGrasse Tyson dizer isto ou algo parecido.
Consegue-se confirmar matematicamente o que ele disse.

Em Março de 1998 estive hospitalizado (e isolado) durante um mês no hospital central do Funchal.
Na altura, para bem da minha sanidade mental, pedi a minha mãe para me levar alguns dos meus livros de banda desenhada e um livro de Cálculo de Tom Apostol.
Acabei por ler o livro todo.
O livro está um pouco desactualizado para os padrões de hoje em dia, mas continua a ter uma caracteristica que falta a muitos livros actuais: é didáctico.
No fim do livro ele tem um capítulo de geometria analítica, introduz as cónicas, e resolve o "problema de força central", que não é mais do que descobrir a trajectória de um corpo sujeito apenas à força de outro, por outras palavras, grosso modo, provar a primeira lei de Kepler.
Pegando naquelas ideias consegui, mais tarde, sem recorrer a mecânica Lagrangiana, resolver analiticamente o problema dos dois corpos. E tendo esse problema resolvido consegui conceber alguns exemplos para atacar o "problema restrito dos 3 corpos". Matematicamente e numericamente!!!!
Portanto, quem quiser seguir os meus passos, tem aqui os ingredientes. Já tive um pdf com os cálculos online... Se algum dia eu os refizer, ficam no meu Blog Z0nα Exact4.
A história não fica por aqui. Em 2008/2009, o professor Luís Trabucho, na faculdade de ciências e tecnologia da Universidade Nova de Lisboa deixou-me assistir às aulas de Mecânica Analítica sem estar inscrito na cadeira, por mera curiosidade minha.
Nessa cadeira ele falou de um livro sobre "A lição esquecida de Feynman", que só consegui obter mais de 10 anos depois.

Livro onde foi reconstruída uma lição de Richard Feynman em que provou a primeira lei de Kepler sem recorrer a cálculo diferencial nem integral.
Na verdade o que ele fez foi reorganizar muito bem algumas ideias...

Bom. Vou poupar a bateria do smartphone...
Até à próxima.

O algoritmo de Euclides e fracções contínuas simples.

O algoritmo de Euclides consiste numa sequência de divisões inteiras para determinar o máximo divisor comum entre dois números naturais. Não o vou descrever, o leitor interessado investiga e encontra sem problemas.
Vou dar um exemplo.
Suponhamos que se pretende calcular $mdc(310402,23725)$. Faz-se: \begin{eqnarray*} {310402}&{=}&{23725\times {\color{blue}13}+1977}\\ {23725}&{=}&{1977\times {\color{blue}12}+{\color{red}1}}\\ {1977}&{=}&{1\times {\color{blue}1977}+0} \end{eqnarray*} O último resto diferente de zero, é ${\color{red}1}$ logo $mdc(310402,23725)={\color{red}1}$.
Isto implica que a fracção $\frc{310402}{23725}$ é irredutível. Estão a ver aqueles números a azul? \[\frc{310402}{23725}=[{\color{blue}13};{\color{blue}12},{\color{blue}1977}]\] Ou seja, \[\frc{310402}{23725}={\color{blue}13}+\frc{1}{{\color{blue}12}+\frc{1}{{\color{blue}1977}}}\] No post anterior eu demonstrei por indução, umas fórmulas de recorrência. Desta vez deixo a cargo do leitor o trabalho de escrever uma demonstração de que sempre que temos uma fracção irredutível, isto funciona. É mais simples, mas mesmo assim dou uma sugestão: comece por obter o desenvolvimento em fracção contínua passo por passo, sem recorrer ao algoritmo das fracções contínuas, recorrendo apenas ao algoritmo de Euclides.
Note-se que o facto de o algoritmo de Euclides ter um número finito de passos, implica que um número racional terá sempre uma expansão em "fracção simples finita".