Dispensado do $\LaTeX$?

Para escrever Matemática em computador, uma das melhores soluções, e que poupa imensa memória a processadores de texto, e eu eu tenho usado para escrever fómulas neste blogue é o $\LaTeX$. É o maior consumidor de tempo para quem escreve um blogue num smartphone.
É, quero dizer, era!
Parece que eu fiquei dispensado de escrever $\LaTeX$!
Ontem escrevi isto numa folha de papel. Tirei uma foto com um smartphone e pedi a uma "AI" para transcrever em $\LaTeX$ sem acrescentar improvisos dela.
É uma dedução da fórmula fundamental da trigonometria partindo das definições com séries de Maclaurin, nada de realmente especial.

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\begin{eqnarray*} {\cos x}&{=}&{ \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!} \quad [\text{Nesta fórmula convenciono que } 0^0=1]}\\ {\sen x}&{=}&{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m+1}}{(2m+1)!}} \end{eqnarray*} Derivando, temos $$(\sen x)' = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m (2m+1) x^{2m}}{(2m+1)!} =\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m (2m+1) x^{2m}}{(2m+1)(2m)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!} = \cos x$$ e $$(\cos x)' = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m 2m x^{2m-1}}{(2m)!} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m 2m, x^{2m-1}}{(2m)(2m-1)!} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m-1}}{(2m-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ O último passo justifica-se com $$\boxed{(x^0)' = 1' = 0}$$ \begin{array}{|l|} \hline k = n - 1 \Rightarrow n=k+1\\ {\begin {array}{ccc} {n = k + 1}&{ \rightarrow}& {n=1\Rightarrow k = 0} \\ {}&{ }& { 2n - 1 = 2k + 1} \end{array}}\\ \hline \end{array} E então $$(\cos x)'= -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = -\sen x$$ Definindo $$F(x) = \cos^2 x + {\sen}^2 x$$ Temos, por derivação na variável $x$. $$F'(x) = 2 \cos x \cdot (-\sen x) + 2 \sen x \cdot \cos x = 0$$ $$\Rightarrow F(x) = \text{const}$$ como $$F(0) = \cos^2 0 + {\sen}^2 0 = 1$$ Pois $$\boxed{ \begin{aligned} \cos 0 &= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m 0^{2m}}{(2m)!} = \underbrace{\frac{(-1)^0 0^0}{0!}}_{=1} + \sum_{m=1}^{\infty} 0 = 1 \\ \sen 0 &= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m 0^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sum_{m=0}^{\infty} 0 = 0 \end{aligned} }$$ então $\text{const}=1$.
Ou seja $$\cos^2 x + {\sen}^2 x=1$$ para todo o valor de $x$ (...)

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Só tive de alterar algumas coisas específicas para o MathJax que uso neste blogue.
Significa que afinal posso usar a actual geração de inteligencia artificial para me poupar trabalho e aumentar a produtividade...
Para quem não gosta da convenção $0^0=1$ em séries de potências e polinómios, num texto futuro proponho uma alternativa.
Neste exemplo, testei o grok da xAI e o gemini da Google. Não notei diferenças significativas.